2011　奈良教育大学　前期MathJax

(1)　初項$a\text{，}$公比$r$の無限等比級数は$\left|r\right|<1$のとき収束し，その和が${\displaystyle \frac{a}{1-r}}$となることを示せ．

(2)　座標平面上で，動点$\mathrm{P}$が点$(1,1)$から$x$軸の負の向きに$1$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに${\displaystyle \frac{1}{3}}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに${\displaystyle \frac{1}{3^2}}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに${\displaystyle \frac{1}{3^3}}$だけ進む．以下，動点$\mathrm{P}$がこのような運動を続けるとき，動点$\mathrm{P}$が限りなく近づく点の座標を求めよ．

(1)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}({\cos }^{n-1}x){(\sin x)}^{\prime }dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n\geqq 3$とする．

(2)　$I_5$を求めよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\text{（}x>0\text{）}$の逆関数を求めよ．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x-e^{-x})$の逆関数$h(x)$を求めよ．

(3)　上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$l$のグラフを描け．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$l$および$x$軸によって囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．