2011　和歌山大学　前期MathJax

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{CO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$\left|\overrightarrow{c}\right|$を$\left|\overrightarrow{a}\right|$を用いて表せ．また，$\mathrm{\angle AOC}$の大きさを求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<m<1$である．線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{OE}$が垂直であるとき，$m$の値を求めよ．

$a_n={\displaystyle \frac{10n+3{(-1)}^n-5}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$は正の奇数であることを示せ．

(2)　$a_n$を$5$で割った余りは$1$または$4$であることを示せ．

(3)　正の奇数のうち，$5$で割った余りが$1$または$4$であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$S$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$S=9$かつ$\mathrm{PA}\perp \mathrm{QA}$のとき，$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

(1)　$x\geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=2\text{，}x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　$\log {\displaystyle \frac{27}{4}}>1.8$であることを示せ．

(1)　$A^2-10A=-9E$であることを示せ．

(2)　$AB=\left(\begin{array}{ccc}-3& 4& -18\\ 5& -1& 18\\ -4& 1& -9\end{array}\right)$を満たす行列$B$を求めよ．