2011　山口大学　前期MathJax

【１】　不等式${\log }_3(x+1)+{\log }_3(x-1)\leqq {\log }_{3}y-1\leqq {\log }_3(11-x)$を満たす整数の組$(x,y)$の個数を求めなさい．

【２】　座標平面上の自然数を成分とする点$(m,n)$に，有理数${\displaystyle \frac{n}{m}}$を対応させる．右図のように，点$(1,1)$から矢印の順番に従って，対応する有理数を並べ，次のような数列をつくる．

${\displaystyle \frac{1}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{1}}\text{，}\cdots$

　このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　有理数${\displaystyle \frac{11}{8}}$が初めて現れるのは第何項かを求めなさい．

(2)　第$160$項を求めなさい．

(3)　第$1000$項までに，値が$2$となる項の総数を求めなさい．

【３】　$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードがある．$6$枚のカードの中から$3$枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする$3$桁の整数を$M$とし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする$3$桁の整数を$N$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$M+N$が$3$の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．

(2)　$|M-N|<200$を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．

【４】　$2$次関数$y=x^2-4x+7\text{，}y=-x^2-3$で与えられる放物線をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$のどちらにも接する$2$本の直線の方程式を求めなさい．

(2)　放物線$C_1$と(1)で求めた$2$直線で囲まれる部分の面積を求めなさい．

【１】　$a$を実数とし，

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(x+a\cos x+a^2\sin x)}^{2}dx$

とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$I$を$a$の式で表しなさい．

(2)　$I>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}^4$であることを示しなさい．

【２】　座標平面において，$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$を原点のまわりに$\theta$だけ回転した点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とおく．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{CD}$と垂直に交わる直線を$l$とし，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{CD}$と垂直に交わる直線を$m$とする．また，直線$l$と直線$m$によりはさまれた領域を$S$とし，不等式$0\leqq y\leqq x$の表す領域を$T$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　直線$l\text{，}m$の方程式を求めなさい．

(2)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．

【３】　$k$を正の実数とする．点$(3k,4k)$を中心とする半径$5k+1$の円を$C_k$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　円$C_k$が原点を通るかどうかを答えなさい．

(2)　$k$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C_k$の動く範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

【４】　$2$つの関数$y=a{x}^2+b\text{，}y=|(x-1)(x+1)|$のグラフが共有点をもつための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表し，点$(a,b)$の存在する領域を座標平面上に図示しなさい．

【３】　$p\text{，}q$を整数とする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$を持ち，区間$[\alpha ,\beta ]$には，ちょうど$2$つの整数が含まれているとする．$\alpha$が整数でないとき，$\beta -\alpha$の値を求めなさい．

【４】　図のように東西に$6$本，南北に$10$本の道がある．東西の道と南北の道の出会う地点を交差点とよび，隣どうしの交差点を結ぶ道を区間ということにする．$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に進むとき，次の問いに答えなさい．ただし，どの交差点においても，東西および北のいずれかに進むことはできるが，南に進むことはできないとする．また，後戻りもできないとする．図の中の太線は道順の例を示したものである．

(1)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．

(2)　$\mathrm{C}$地点を通って，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．

(3)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで$16$区間で行く道順の総数を求めなさい．