2011　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x(2a-|x|)$を考える．ただし，$a$は実数である．$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値を$g(a)$とおく．$g(a)$を$a$を用いて表し，そのグラフをかけ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さが，それぞれ$n-1\text{，}n\text{，}n+1$であるとする．ただし，$n$は$4$以上の整数である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さを$d$とする．

(1)　$d$を$n$を用いて表せ．

(2)　$n$が偶数であることは，$d$の$2$乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ．

【３】　数直線上の点$\mathrm{P}$は，さいころを投げて出た目が偶数であれば，正の方向に$1$だけ進み，奇数であれば負の方向に$1$だけ進む．いま，点$\mathrm{P}$は原点にある．

(1)　さいころを$8$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

(2)　さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．

(3)　さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点に戻り，しかも戻ってくるのが$2$度目である確率を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とするとき，次のことを示せ．

(1)　$a\text{，}b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b\text{，}a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．

(2)　$a+b\text{，}ab$がともに有理数であることは，$a\text{，}b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．

(3)　$a+b\text{，}ab\text{，}{a}^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a\text{，}b$はともに有理数である．