2011　熊本大学　前期MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{BC}=b\text{，}\mathrm{CD}=c\text{，}\mathrm{DA}=d\text{，}\mathrm{AC}=x\text{，}\mathrm{BD}=y$

とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\cos A\text{，}\cos B\text{，}\cos C\text{，}\cos D$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}x\text{，}y$を用いて表せ．

(問２)　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，

$xy=ac+bd$

が成り立つことを示せ．

【２】　$2$つの整数の平方の和で表される整数の集合を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　集合$A$のある要素$a^2+b^2$（$a\text{，}b$は整数）が$3$で割り切れるとき，$a\text{，}b$はともに$3$で割り切れることを示せ．

(問２)　$x$を整数とする．$9x$が集合$A$の要素であるとき，$x$は集合$A$の要素であることを示せ．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=-x^2+2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を考える．点$\mathrm{A}(t,-t^2+2t-{\displaystyle \frac{1}{2}})$における$C_2$の接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$l$と$C_1$との交点の$x$座標を，$t$を用いて表せ．

(問２)　点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$とするとき，第$1$象限において$l\text{，}{C}_1$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　平行六面体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k\text{（}0<k<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{ML}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(問２)　$3$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．

【１】　$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目の数を$a\text{，}2$回目に出る目の数を$b$とする．これらの$a\text{，}b$に対して，実数を要素とする集合$P\text{，}Q$を次のように定める．

$P=\{x|x^2+ax+b>0\}$

$Q=\{x|5x+a\geqq 0\}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．

(問２)　$Q\subset P$となる確率を求めよ．

【２】　平行六面体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k\text{（}0<k<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{ML}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(問２)　$3$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．

(問３)　$3$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　次の条件によって定められる関数の列$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．

$f_0(x)=1$

$f_n(x)=1-{\displaystyle {\int }_0^x}t{f}_{n-1}(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(問２)　$n\geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．

(問３)　$n\geqq 1$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq f_n(1)\leqq {\displaystyle \frac{5}{8}}$

が成り立つことを示せ．

【４】　楕円$C\text{：}{x}^2+4y^2=1$と点$\mathrm{P}(2,0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(問１)　直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる$2$つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．

(問２)　(問１)における$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

【１】　$x\text{，}y$を整数とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$x^5-x$は$30$の倍数であることを示せ．

(問２)　$x^{5}y-x{y}^5$は$30$の倍数であることを示せ．

【４】　$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{P}(0,0,1)\text{，}\mathrm{Q}(0,0,-1)\text{，}\mathrm{R}(t,t^2-t+1,0)$を考える．$t$が$0\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$K$を$xy$平面で切ったときの断面積を求めよ．

(問２)　$K$の体積を求めよ．