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2011-11031-0101
2011 公立はこだて未来大学 前期
必須問題
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 x ,y は実数とする.命題「 3 ⁢x2 +y2 +4⁢x ⁢y≠0 ならば x +y≠0 である」について,以下の問いに答えよ.
問1 命題の逆,裏,対偶をそれぞれ述べよ.
問2 命題を証明せよ.
問3 命題の裏の反例を 1 つあげよ.
2011-11031-0102
【2】 以下の問いに答えよ.
問1 3 次方程式 4 ⁢x3 -3⁢x +1=0 を解け.
2011-11031-0103
問2 log2 ⁡cos⁡θ +log2 ⁡(sin 2⁡θ - 14 )+2 =0 を満たす θ で, 0≦θ ≦π の範囲にあるものを求めよ.
2011-11031-0104
【3】 関数 f ⁡(x )= x2- 2⁢ |2 ⁢x-1 |+ 2 について,以下の問いに答えよ.
問1 y=f⁡ (x ) のグラフを描け.
問2 y=f⁡ (x ) のグラフと x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ.
問3 y=f⁡ (x ) のグラフに,異なる 2 点で接する直線を求めよ.
2011-11031-0105
数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題
【1】 座標平面において,原点を通り傾きが tan ⁡2⁢θ の直線を l で表す.ただし, θ は 0 <θ< π 4 を満たすとする.中心が第 1 象限に属し,直線 l と x 軸に接する半径 1 の円 C を考える.さらに,円 C と直線 l および x 軸に接し,中心が第 1 象限に属する 2 つの円のうち,面積が大きいものを C ′ で表す.以下の問いに答えよ.
問1 円 C の方程式を求めよ.
問2 円 C ′ の半径を, θ の関数として表せ.
問3 円 C ′ の円周の長さが,円 C の円周の長さの 3 倍になるように θ の値を定めよ.
2011-11031-0106
【2】 2 次関数 f⁡( x)= x2- 2⁢x+ 2 について,以下の問いに答えよ.
問1 t を実数とする. t-1≦ x≦t の範囲において, f⁡( x) の最大値を t の関数の形で求めよ.
問2 問1で求めた t の関数を p⁡( t) とおく. t がすべての実数値をとって変化するとき,座標平面上の点 ( t, p⁡( t) ) の軌跡を描け.
問3 t を実数とする. t-1≦ x≦t の範囲において, f⁡( x) の最小値を t の関数の形で求めよ.
問4 問3で求めた t の関数を q⁡( t) とおく. t がすべての実数値をとって変化するとき,座標平面上の点 ( t, q⁡( t) ) の軌跡を描け.
2011-11031-0107
数学III 選択問題
【1】 座標平面上の 2 点 A ( -2,0 ), B (2 ,0) を端点とする線分 AB と楕円の上半分 x2+4 ⁢y2 =4 ,y ≧0 に 4 つの頂点がある台形 ABCD について,以下の問いに答えよ.ただし,点 C は第 1 象限,点 D は第 2 象限に属しているとする.
問1 点 C の x 座標を 2 ⁢cos⁡θ ( 0<θ< π2 ) とするとき,台形 ABCD の面積を θ を用いて表せ.
問2 台形 ABCD の面積の最大値を求めよ.また,そのときの点 C の x 座標を求めよ.
2011-11031-0108
【2】 数列 { an } の一般項を
an = ∫0n ⁢π e-x ⁢sin⁡ x⁢dx ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定めるとき,以下の問いに答えよ.
問1 sin⁡x =(- cos⁡x )′ を用いた部分積分法により,
an= An- ∫ 0n⁢π e- x⁢cos ⁡x⁢d x ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) となるときの A n を求めよ.
問2 問1で求めた A n について, an= A n2 が成り立つことを示せ.
問3 limn →∞ an を求めよ.