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2011-11031-0301
2011 公立はこだて未来大学 AO
配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
問1 A≧0 , B≧0 に対して,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
A⁢B ≦ A+B 2
また,等号が成り立つのは,どのようなときか.
問2 0 以上の実数 a , b ,c , d に対して,問1で A =a⁢b , B=c ⁢d としたものを用いることにより,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
a⁢b ⁢c⁢d 4≦ a +b+c+ d4
2011-11031-0302
配点35点
【2】 2 つの放物線 l :y=4 ⁢x2 -9⁢x +12 と, m :y= x2 を考える.さらに, y 軸に平行な直線 x =t を n とする. l と n の交点を P ,m と n の交点を Q とするとき,以下の問いに答えよ.
問1 点 P と点 Q の座標をそれぞれ t で表せ.
問2 線分 PQ を 1 :2 に内分する点を R とする. t がすべての実数値をとって変化するとき, R の軌跡を求めよ.
2011-11031-0303
【3】 座標平面において,点 P ( 2,2 ) と点 Q ( 25 , 65 ) を通り,かつ y 軸に接する円は 2 つある.これらの円を表す方程式を,それぞれ求めよ.
2011-11031-0304
【4】 変数 x の 2 次式 f⁡( x) と 3 次式 g⁡( x) について,以下の問いに答えよ.
問1 放物線 y =f⁡( x) が直線 x =-1 を軸とし, 2 点 ( 0,0 ), (1 ,9) を通るとき, f⁡( x) を求めよ.
問2 g⁡( x) が g⁡( 0)= 1 と g ⁡(- 2)= 3 を満たすとき, g⁡( x) を問1で求めた f⁡( x) で割った余りを求めよ.