2011　尾道市立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．ただし$n$は$2$以上の自然数とする．

(1)　$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$を展開せよ．

(2)　次の和を求めよ．

(a)　$1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}$

(b)　$2^n+2^{n-1}\cdot 3+2^{n-2}\cdot 3^2+\cdots +2\cdot 3^{n-1}+3^n$

(c)　$1\cdot 2+3\cdot 2^3+5\cdot 2^5+\cdots +99\cdot 2^{99}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x+2y=10$のとき，$x^2+y^2$の最小値およびそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(2)　$g(x)=15x-50$とする．$x+2y=10\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$のとき，$|x^2+y^2-g(x)|+g(x)$の最大値，最小値およびそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$が半径$\sqrt{7}$の円に内接し，$b=\sqrt{3}$であり，さらに

$2\sin (2B+C)+1=0$

$2\cos (2B+C)-\sqrt{3}=0$

を満たすとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$A$と$C$を$B$を用いて表せ．

(2)　正弦定理を用いて$a\text{，}c$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．