2012 大学入試センター試験 追試験 数学I/数学IAMathJax

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2012 大学入試センター試験 追試

数学I,数学IIA共通

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕(1)  3 3+ 1 の分母を有理化すると - である.次の 0 2 のうちから最小であるものを選ぶと であり,最大であるものを選ぶと である.

0 3 2 1 1 2 33 +1

(2) 次の 0 3 のうちから最小であるものを選ぶと であり,最大であるものを選ぶと である.

0 3 2 1 ( 32 )2
2 3 3+ 1 3 ( 33 +1 )2

2012 大学入試センター試験 追試

数学I

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 定数 a に対して, 2 次方程式

x2- 3x- (a2 -3a -4) =0

が異なる二つの実数解をもつのは, a< クケ または <a のときである.その二つの解の差の絶対値は

a2- セソ a-

である.

  x2- 3x a2- 3a- 4 を満たす整数 x が存在しないのは

- ツテ <a< + ツテ

のときである.

2012 大学入試センター試験 追試

数学I,数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a 0 でない定数とするとき, x 2 次関数

y=a x2- (6- 2a) x+4

のグラフを G とする.グラフ G x 軸と共有点をもたない a の値の範囲は

<a<

である.

 以下, a の範囲にあるとする.

  G の頂点の座標は

( a - , a+ カキ - a )

である.ここで, k= a- とおけば, より

< a <

なので,この k の値の範囲は

シス <k<

である.

(1) 関数 -1 x0 における最小値を m とする.

x=k で最小値 m= a+ カキ - a

をとるのは, a< のときである.

 一方, <a のときは

x= で最小値 m=

をとる.

(2) 関数 -1 x0 における最大値を M とする. M>4 となるとき

x= テト で最大値 M= a+ ニヌ

をとる.ただし, M>4 となる a の値の範囲は, <a< である.

2012 大学入試センター試験 追試

数学I

配点19点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】[1]  ABC において, AB=4 BC=5 CA=6 であるとき

cosACB = sin ACB=

であり, ABC の外接円 O の半径は である.

 外接円 O の点 B を含まない弧 AC 上の点 D があるとき

sinADC = cos ADC= サシ

が成り立つ.さらに, AD=CD とすると, AD= であり, DAC の面積は である.

2012 大学入試センター試験 追試

数学I

配点11点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】[2]  1 辺の長さ 6 の正三角形 LMN を底面とする三角 すい PLMN において PL =PM=PN =4 であるとする.

(1) 三角錐 PLMN の表面積は

( + )

である.ただし, の解答の順序は問わない.

 また, LMN を底面とするときの三角錐 PLMN の高さは 体積は である.

(2) 三角錐 PLMN と相似で,体積が 48 3 である三角錐の表面積は

ヌネ ( + )

である.

2012 大学入試センター試験 追試

数学I

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  p q は正の実数で, 1 p+ 1 q= 1 を満たすものとする.

 このとき, p+q= が成り立つ. に当てはまるものを次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0 pq 1 pq 2 qp 3 1 pq

 以下, p+q= s とおく.

(1)  p2+ q2= s2- s であり, p3+ q3= s3- s2 である.

(2) いま F

F=p3 +q3 -3 pq2 -3 pq 2+5 p+5 q

とおく. F s で書き表すと

F=s3 - s 2+ s= s( s- ) (s- )

となる.ただし, の解答の順序は問わない.

(3)  (p -q) 2= s2- s となる.よって, s2- s0 である. s は正なので, s となる.

(4) (2)で与えられた F について, F=0 を満たすのは s= のときである.すなわち, F=0 となるのは

p= ±

のときである.

2012 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  m n を整数とする.

 次の に当てはまるものを,下の 0 5 のうちから一つずつ選べ.また,次の に当てはまるものを,下の 6 9 のうちから一つずつ選べ.ただし, には,同じものを繰り返し選んでよい.

(1)  m n に関する条件 p q を次のように定める.

p:m q の少なくとも 1 つは 3 の倍数でない

q:m +n m-n の少なくとも 1 つは 3 の倍数でない

  p の否定 p

  p q であるための

(2)  m n に関する条件 r s を次のように定める.

r:m n の少なくとも 1 つは 4 の倍数でない

s:m +n m-n の少なくとも 1 つは 4 の倍数でない

s の否定 s が成立するならば,

r s であるための

0   m n の少なくとも 1 つは 3 の倍数である

1   m n はともに 3 の倍数である

2   m n はともに 3 の倍数でない

3   m n はともに奇数である

4   m n はともに偶数である

5   m n のうち一方だけが偶数である

6  必要十分条件である

7  必要条件であるが,十分条件でない

8  十分条件であるが,必要条件でない

9  必要条件でも十分条件でもない

2012 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を中心とする円 O の二つの弦 AB CD が,円 O 内の点 P において交わっている.ここで

PA=1 PC=10 PD= 105

とし,弦 AC の長さは AC= 3 とする.

 このとき, PB= であり, CAP= イウ ° である.したがって,円 O の直径は である.さらに, tan PCA= となる.

 点 P から弦 BC に下ろした垂線と弦 BC の交点を H とする.このとき, PHB の外接円の直径は である.また

PHB+ BDP= ケコサ °

であり, BDH= シス ° である.

 線分 DH の延長と円 O の交点を E とする. BDH= シス ° であるので, BOE= セソ ° である.したがって, AE= である.さらに, tan PCH= となる.

 次の 0 3 のうち, AED と相似な三角形は である.ただし, の解答の順序は問わない.

0 BCD 1 PCA 2 PCH 3 HEO

2012 大学入試センター試験 追試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 五つの文字 A B C D E と三つの数字 1 2 3 を用いて

A1 B1 C1 D1 E1
A2 B2 C2 D2 E2
A3 B3 C3 D3 E3

と書かれた 15 枚のカードから,同時に 2 枚のカードを取り出す.このとき,カードの取り出し方は アイウ 通りある.その中に,カードに書かれている文字が同じである取り出し方は エオ 通りあり,カードに書かれている文字が異なっている取り出し方は カキ 通りある.

 取り出した 2 枚のカードによって,得点を次のように定める.

・カードに書かれている文字が同じであるときは, 2 枚のカードに書かれている数のうち大きい方を得点とする.

・カードに書かれている文字が異なるときは, 2 枚のカードに書かれている数の和を得点とする.

(1) 得点が 6 点となる確率は ケコ 得点が 5 点となる確率は シス 得点が 4 点となる確率は である.

(2) 得点が 3 点となる確率は 得点が 2 点となる確率は である.

(3) 得点の期待値は トナ ニヌ 点である.

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