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2012-10241-0301
2012 千葉大学 後期理学部
数学・情報数理学科
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とする.関数 f ⁡( x)= |cos⁡ 2⁢x+ sin⁡x |+a ⁢sin⁡x の最大値を a を用いて表せ.
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【2】 a を正の実数とし,座標平面上に 4 点
O (0 ,0) ,A ( a,0 ), B (a, 1a ) ,C (2⁢ a, 12⁢a )
をとる.点 A から直線 OB に下ろした垂線と直線 OB との交点を D とおく.次の問いに答えよ.
(1) 直線 AD の方程式を求めよ.
(2) sin⁡∠ CAD の値を a を用いて表せ.
(3) cos⁡∠ CAD=- 1 10 をみたすような a の値をすべて求めよ.
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【3】 座標平面上に 3 点 A ( 1,0 ), B (cos ⁡θ,sin ⁡θ) ,C (cos ⁡3⁢θ ,sin⁡3 ⁢θ) をとる.ただし, θ は 0 <θ< 2 3⁢ π の範囲を動くとせよ.次の問いに答えよ.
(1) 内積 BA→⋅ BC→ を cos ⁡θ を用いて表せ.
(2) ▵ABC の面積が最大になるとき,辺 AB の長さの 2 乗を求めよ.
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【4】 a を実数とする. 0≦x < π2 の範囲で 2 つの曲線 y =a⁢sin ⁡4⁢x と y =tan⁡x を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 2 つの曲線の共有点はいくつあるか a の値によって分類せよ.
(2) 2 つの曲線が π 4< x< π2 の範囲で共有点をただ 1 つだけもつとき, 2 つの曲線で囲まれた図形の面積を求めよ.
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【5】 座標平面上で 3 点 A ( -1,0 ), B (1 ,0) ,C ( x,y ) を頂点とする三角形を考える. y>0 で ∠ C≦ 90⁢ ° のとき,次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC の 3 辺の中で AB の長さが最大となる点 C の範囲を図示せよ.
(2) 3 点 A ,B , C を通る円の半径は, 2 点 A ,B を通り点 C を内部に含むどの円の半径よりも小さいことを証明せよ.
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【6】 l ,m を 1 以上の整数とする. 2 つの数列 { an }, { bn } を次のように定める.
(ⅰ) a1 =l ,b 1=m ,
(ⅱ) an ≦bn かつ 2≦ bn のとき, an+ 1= an+1 , bn +1= bn- 2 ,
(ⅲ) bn <an かつ 2 ≦an のとき, an+ 1= an-2 , bn +1= bn+ 1,
(ⅳ) an <2 かつ bn< 2 のとき, an , bn を数列の最後の項とする.
次の問いに答えよ.
(1) l=3 , m=3 のとき数列 { an } ,{ bn } を書き下せ.
(2) 数列 { an }, { bn } は有限数列であることを示せ.さらに, { an } の最後の項を A , {b n} の最後の項を B とするとき, (A ,B) は ( 1,1 ), (1 ,0) ,( 0,1 ) のいずれかであることを示せ.
(3) A と B を(2)のように定めるとき, (A ,B) =( 1,0 ) が成り立つために l と m がみたすべき必要十分条件を求めよ.