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2012-10271-0201
2012 電気通信大学 後期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 2 以上の自然数 n に対して,関数 f n⁡( x) を
fn⁡ (x) = log⁡x xn ( x> 0)
で定める.曲線 y= fn⁡ (x ) を C n とするとき,以下の問いに答えよ.ただし, log⁡x は e を底とする自然対数とする.
(ⅰ) 関数 f n⁡( x) の増減を調べ,極値を求めよ.
(ⅱ) 原点を O とし,曲線 C n 上の点を P (t ,fn ⁡(t )) とするとき,直線 OP の傾きが最大となるような t の値 t n を求めよ.
(ⅲ) 不定積分 ∫⁡ fn⁡ (x) ⁢dx を求めよ.
(ⅳ) 1<t≦ tn のとき,線分 OP と曲線 C n および x 軸で囲まれる部分の面積を Sn⁡ (t) とする. Sn⁡ (t ) を t と n を用いて表せ.
(ⅴ) limn→ ∞⁡ n⁢Sn ⁡( tn ) を求めよ.
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【2】 半径 1 の扇形を展開図とする円錐面(円錐の側面)のうちで,中心軸とのなす角が θ (0< θ< π2 ) であるものを C θ で表す(図1).このとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 円錐面 C θ の展開図である扇形(図2)の中心角 α ⁡(θ ) を求めよ.
(ⅱ) Cθ の底を平面で 塞ふさ いだとき,囲まれる部分(円錐)の体積 f⁡ (θ ) を求めよ.
(ⅲ) θ が 0< θ< π2 の範囲を動くとき, f⁡( θ) の最大値を求めよ.
以下では, θ0 を tan⁡ θ0 =3 ,0< θ0< π 2 を満たす角とする.
(ⅳ) 0<θ< θ0 のとき,円錐面 C θ0 の上側に円錐面 C θ を中心軸が一致するように 被かぶ せる(図3). Cθ0 と, C θ で 挟はさ まれる部分の体積 g ⁡(θ ) を求めよ.
(ⅴ) θ が 0< θ<θ 0 の範囲を動くとき, g⁡( θ) の最大値を求めよ.
図1
図2
図3(真横から見た図)
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【3】 b を実数とし, α ,β ( α<β ) を x の 2 次方程式 x 2+b ⁢x-1 =0 の異なる実数解とする.数列 { an} を
an= αn- βn α-β ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定めるとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) a3 を b の式で表せ.
(ⅱ) 数列 { an } が漸化式
an+ 2+b ⁢an +1- an= 0 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たすことを示せ.
(ⅲ) 行列 A= ( -b1 10 ) に対して, An ( n≧2 ) は上の数列の項 a p, aq , ar , as ( p , q ,r ,s は n の式)を用いて,
An= ( ap aq ar as )
と表されることを証明せよ.
(ⅳ) b>0 のとき, |α | と | β| の大小関係を調べよ.さらに,このときの極限値 limn→ ∞⁡ a n+1 an を b を用いて表せ.
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【4】 座標平面上で,原点 O (0 ,0) および点 A (1 ,1) ,B (0 ,1) を頂点とする直角二等辺三角形 OAB をとり,辺 OA 上に点 P , 辺 AB 上に点 Q , 辺 BO 上に点 R を
OP=AQ= BR=t ( 0<t< 1)
を満たすようにとる. 3 点 P , Q ,R を頂点とする ▵PQR について,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) ベクトル PR → ,PQ→ の成分を PR →=( a⁡( t), b⁡( t) ), PQ→ =(c ⁡(t ),d ⁡(t )) とするとき, a⁡( t) ,b⁡ (t) ,c⁡ (t) ,d⁡ (t) をそれぞれ求めよ.
(ⅱ) ∠RPQ が直角になるときの t の値を求めよ.
(ⅲ) 内積 RP → ⋅ RQ→ を t を用いて表せ.さらに,任意の t ( 0 <t<1 ) に対して ∠PRQ が鋭角であることを証明せよ.
(ⅳ) ▵PQR が ∠PQR を直角とする直角二等辺三角形であるとき, t の値を求めよ.さらに,そのときの ∠OPR を求めよ.
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【5】で配点60点
【5】[Ⅰ] 次の値を求めよ.
(ⅰ) limn→ ∞⁡ 1 n4 ⁢ ∑k= 1n ⁡k3
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(ⅱ) ∫ 24⁡ dxx 2+x- 2
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(ⅲ) ∫ 0cos⁡ π 7 ⁡ dx 1-x2
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【5】[Ⅱ] カード 0 が m 枚,カード 1 が n 枚ある.これら m+ n 枚のカードを左から右へ順に並べるとき,以下のそれぞれの条件を満たす並べ方は何通りあるか.
(ⅳ) (m, n)= (5, 4) で,並べ方に制限をつけない.
(ⅴ) (m, n)= (4, ) で,左から 0 と 1 の枚数をそれぞれ数えていくとき,どの時点でも 1 の枚数は 0 の枚数以上である.
(ⅵ) (m, n)= (4, 5) で 0 が連続して 2 枚以上現れることはない.