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2012-10501-0101
2012 三重大学 前期
人文,教育,工,生物資源学部
医学部【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 実数 x に対し, [x ] を x 以下の最大の整数とする.たとえば, [2 ]= 2 ,[ 7 5] =1 である.数列 { ak } を
ak =[ 3 ⁢k5 ] ( k=1 , 2 ,⋯ )
と定めるとき,以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 , a3 , a4 , a5 を求めよ.
(2) ak +5= ak+ 3 ( k=1 ,2 , ⋯ ) を示せ.
(3) 自然数 n に対して, ∑k= 15⁢ na k を求めよ.
2012-10501-0102
【2】 座標平面上で y =x+1 で表される直線を l とする.また, 4 点 A ( -1,1 ), B (0 ,-2) ,C ( 3,1) ,D ( 1,3 ) をとる.以下の問いに答えよ.
(1) 領域 R 1={ (x, y) |y >x+1 } と R 2={ (x, y) |y ≦x+1 } を考える. 4 点 A ,B , C ,D はそれぞれ,領域 R1 ,R2 のどちらにあるか答えよ.
(2) k を定数とし,直線 y =x+k 上に点 E ( x,x+ k) をとる. E と直線 l の距離が 2 となる k の値をすべて求めよ.
(3) 四角形 ABCD の周または内部で,直線 l との距離が 2 以下となる点の範囲を図示せよ.
(4) 点 P ( x,y ) が(3)で求めた範囲を動くとき, 2⁢x +y がとる値の最小値と最大値を求めよ.
2012-10501-0103
人文,教育,工,医,生物資源学部
【3】 表の出る確率が p ( 0< p<1 ) のコインを投げ,表が出れば 5 点を得,裏が出れば 1 点を得るものとする.コインを投げ続けるとき以下の問いに答えよ.
(1) n 回投げたときの得点の取りうる値をすべて求めよ.また,得点がそれぞれの値となる確率を求めよ.
(2) 10 回コインを投げて,得点が 14 点以下になる確率を求めよ.
2012-10501-0104
人文学部
教育,生物資源学部【4‐2】の類題
【4】 h を 0 <h<1 を満たす実数とし,
f⁡( x)= x2+ 2⁢(1 - 1h )⁢ x+1 , g⁡( x)=- x2+ 2⁢(1 + 1h )⁢ x+1
とする.
(1) 2 つの曲線 y =f⁡( x) と y =g⁡( x) で囲まれる図形の面積 S ⁡(h ) を求めよ.
(2) (1)で定めた図形を含む,各辺が x 軸または y 軸に平行であるような長方形のうち,面積が最小となるものの面積を T ⁡(h ) とする. h が 0 に限りなく近くとき, T ⁡(h )S ⁡(h ) の極限値を求めよ.
2012-10501-0105
教育,生物資源学部
【4‐1】と【4‐2】から1題選択
【4‐1】 媒介変数 θ を用いて x =2⁢cos ⁡θ ,y= 3⁢sin⁡ θ( 0<θ< π2 ) と表される曲線がある.
(1) この曲線について θ を消去して, x ,y の方程式を求め,その概形をかけ.
(2) 曲線上の点 P ( 2⁢cos⁡ θ,3⁢ sin⁡θ ) での接線の方程式を求めよ.
(3) (2)で求めた接線と x 軸, y 軸とで作られる三角形の面積 S を θ の関数として表せ.
2012-10501-0106
人文学部【4】の類題
【4‐2】 h を 0 <h<1 を満たす実数とし,
f⁡( x)= | x2- 2h ⁢ x|+ 2⁢x+1 , g⁡( x)=- | x2- 2h ⁢ x| +2⁢x +1
2012-10501-0107
工学部
医学部【4】の類題
【4】 以下の問いに答えよ.
(1) 関数 y =x-e -x の増減を調べよ.
(2) 実数 α で α -e- α= 0 を満たすものがひとつだけ存在することを示せ.さらに,この α は, 0<α <1 を満たすことを示せ.
(3) (2)の α と正の整数 n に対して,
In= ∫ 0α (x⁢ e-n ⁢x+ α⁢x n-1 )⁢ dx
とおく. In を α の多項式として表せ.また, limn →∞ n2 ⁢In を求めよ.
2012-10501-0108
医学部
人文,教育,工,生物資源学部【1】の類題
【1】 実数 x に対し, [x ] を x 以下の最大の整数とする.すなわち, [x ] は整数であり [ x]≦ x<[ x]+ 1 を満たすとする.たとえば, [2 ]=2 , [ 53 ]= 1 である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) すべての実数 a とすべての整数 m に対し, [a +m] =[a ]+ m が成り立つことを示せ.
(2) 数列 { ak } を ak= [ 2⁢k 3 ] ( k=1 ,2 , ⋯ ) と定める.自然数 n に対して, ∑k= 1n ak を求めよ.
2012-10501-0109
【2】 ∠AOB が直角, OA:OB =2:1 である三角形 OAB がある. s は 0 <s<1 とし,辺 AB を s :(1 -s ) に内分する点を P とし, OP を s :(1 -s) に内分する点を Q とする.また,線分 AQ の延長と OB の交点を R とする. OP→ と BQ → が直交するとき,以下の問いに答えよ.
(1) s の値を求めよ.
(2) AR→ =t⁢ AQ→ とおくとき, t の値を求めよ.
(3) 三角形 OQR の面積と三角形 BPQ の面積の比を,最も簡単な整数の比で表せ.
2012-10501-0110
工学部【4】の類題
(1) 関数 y =| x|-e -x の増減を調べよ.
(2) 実数 α で |α | -e- α= 0 を満たすものがひとつだけ存在することを示せ.さらに,この α は, 0<α <1 を満たすことを示せ.