2013　大学入試センター試験　追試験験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

［１］　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2=1\text{，}$$y\geqq 0$を満たすとき，$z=2x^2+4xy-y^2$を最大にする$x\text{，}$$y$の値とそのときの$z$の値を求めよう．

　$x^2+y^2=1\text{，}$$y\geqq 0$により，$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲の$\theta$を用いて，$x=\cos \theta \text{，}$$y=\sin \theta$とおくことができる．$z$を$\theta$を用いて表せば

$\begin{array}{ll}z& ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}\cos 2\theta +\boxed{\text{ウ}}\sin 2\theta }{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{2}}\sin (2\theta +\alpha )\cdots \text{①}\end{array}$

となる．ただし，$\alpha$は，鋭角$(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$を満たすものとする．

　$2\theta +\alpha$のとり得る値の範囲が$\alpha \leqq 2\theta +\alpha \leqq 2\pi +\alpha$であることに注意すると，$\text{①}$により，$2\theta +\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{オ}}}}$のとき，$z$は最大値$\boxed{\text{カ}}$をとることがわかる．

　$z$が最大値$\boxed{\text{カ}}$をとるとき，$2\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{オ}}}}-\alpha$であるから，$\cos 2\theta =\boxed{\text{キ}}$となる．$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha +{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \alpha }$
• $\overline{)\text{1}}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\sin \alpha +{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cos \alpha$
• $\overline{)\text{2}}$　$\sin \alpha$
• $\overline{)\text{3}}$　$-\sin \alpha$

　また，$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{オ}}}}-\alpha )$と$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$により，$\cos \theta >0$である．したがって，$z$が最大値$\boxed{\text{カ}}$をとるとき

$x=\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$$y=\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

であることがわかる．

【１】

［２］　実数$a$に対して，座標平面上で，不等式

$x^2-2ax+y^2-4y+a^2\leqq 0\cdots \text{②}$

の表す領域を$A$とし，連立不等式

$2x+y\leqq 24\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

の表す領域を$B$とする．領域$A$と領域$B$が共通部分をもつとき，その共通部分を$C$とする．共通部分$C$が$a$の値によりどのように変化するかを調べよう．

(1)　不等式$\text{②}$は

${(x-\boxed{\text{ス}})}^2+{(y-\boxed{\text{セ}})}^2\leqq \boxed{\text{ソ}}$

と変形できるので，領域$A$は，点$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{タ}}$の円とその内部である．

(2)　点$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{タ}}$の円と直線$2x+y=24$が接する場合，$\boxed{\text{チ}}\text{．}$$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　領域$A$と領域$B$は共通部分を持たない

$\overline{)\text{1}}$　共通部分$C$は，領域$A$と一致するか，または$1$点のみからなる

$\overline{)\text{2}}$　共通部分$C$は，領域$B$と一致するか，または$2$点のみからなる

$\overline{)\text{3}}$　共通部分$C$は，領域$A$と領域$B$の和集合に等しい

(3)　領域$A$と領域$B$が共通部分をもつような実数$a$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ツテ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{トナ}}+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

である．

　共通部分$C$が領域$A$と一致するような実数$a$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ヌ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{トナ}}-\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

である．

　共通部分$C$の面積が，領域$A$の面積の半分となるのは

$a=\boxed{\text{ネ}}\text{，}$$\boxed{\text{ノハ}}$

のときである．

【２】　座標平面上で，放物線$y=x^2$を$C$とし，$2$点$\mathrm{P}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{Q}(b,b^2)$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とする．ただし，$a>0$であり，$l$と$m$は垂直であるとする．

　$l$と$m$は垂直であるから，関係式$\boxed{\text{ア}}ab=-1$が成り立つ．したがって，$l$と$m$の交点$\mathrm{R}$の座標は，$a$を用いて

$({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}(a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}a}}),-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}})$

と表される．

　点$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$l^{\prime }$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$m$に垂直な直線を$m^{\prime }$とする．$l^{\prime }$と$m^{\prime }$の交点$\mathrm{T}$の座標は，$a$を用いて

$({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キ}}}}(a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}a}}),$$a^2+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コサ}}{a}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{シ}}}})$

と表される．

　$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{T}$の軌跡は放物線

$y=\boxed{\text{ス}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

　四角形$\mathrm{PTQR}$の面積を$S_1$とすると

$S_1={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{タ}}}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{チ}}a}})}^{\boxed{\text{ツ}}}$

が成り立つ．

　一方，放物線$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{テ}}}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ト}}a}})}^{\boxed{\text{ナ}}}$

である．

　したがって，放物線$C$と接線$l\text{，}$$m$で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると

$S_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{S}_1$

が成り立つ．また，相加平均と相乗平均の関係を利用して，$S_2$は$a={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ネ}}}}$で最小値${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ノハ}}}}$をとることがわかる．

【３】　$2{\log }_{2}y={({\log }_{8}2x)}^2$のとき，$z={\displaystyle \frac{x}{y}}$を最大にする$x\text{，}$$y$の値とそのときの$z$の値を求めよう．

　まず，$a={\log }_{8}2x$とおくと，$2x={\boxed{\text{ア}}}^{\boxed{\text{イ}}}$である．$2x={\boxed{\text{ア}}}^{\boxed{\text{イ}}}$について，$2$を底とする両辺の対数をとることによって，$a={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x+\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であることがわかる．よって

${\log }_{8}2x={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x+\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$$\cdots \text{①}$

である．

　次に，$z={\displaystyle \frac{x}{y}}$について，$2$を底とする両辺の対数をとると，$\boxed{\text{オ}}$となる．$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$2{\log }_{2}y={({\log }_{8}2x)}^2$と$\text{①}$と$\boxed{\text{オ}}$により，$t={\log }_{2}x$とおいて，${\log }_{2}z$を$t$を用いて表すと

${\log }_{2}z=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カキ}}}}{(t-\boxed{\text{ク}})}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$$\cdots \text{②}$

となる．

　$x$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{サ}}$であるから，$t={\log }_{2}x$により，$t$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{シ}}$である．$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　実数全体
• $\overline{)\text{1}}$　$1$以上の実数全体
• $\overline{)\text{2}}$　負の実数全体
• $\overline{)\text{3}}$　正の実数全体

　したがって，$\text{②}$により，$t=\boxed{\text{ス}}$のとき，${\log }_{2}z$は最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$をとることがわかる．また，$t=\boxed{\text{ス}}$のとき，$2{\log }_{2}y={({\log }_{8}2x)}^2$と$\text{①}$により，${\log }_{2}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

　以上のことから，$z$を最大にする$x\text{，}y$の値は，$x=\boxed{\text{ツテト}}\text{，}$$y=\boxed{\text{ナニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$であり，そのときの$z$の値は$z=\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$である．

【４】(1)　$3$次方程式

$x(x+1)(x+2)=1\cdot 2\cdot 3$

の実数解は$\boxed{\text{ア}}$であり，虚数解は$\boxed{\text{イウ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{エ}}}i$である．

(2)　$c$を実数とする．$x$についての$3$次方程式

$x(x+c)(x+2c)=(1+c)(1+2c)$$\cdots \text{①}$

の解が，すべて$0$以上の実数となるような$c$のとり得る値の範囲を求めよう．

　方程式$\text{①}$は$c$の値によらず$x=\boxed{\text{オ}}$を解にもつので

$(x-\boxed{\text{オ}})\{x^2+(\boxed{\text{カキ}}+\boxed{\text{ク}})x$$+(c+1)(2c+1)\}=0$

と表すことができる．$x$についての$2$次方程式

$x^2+(\boxed{\text{カキ}}+\boxed{\text{ク}})x+(c+1)(2c+1)=0$

の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とし，判別式を$D$とする．

　このとき，方程式$\text{①}$の解がすべて$0$以上の実数であるための条件は，$D\geqq 0$であり，かつ$\boxed{\text{ケ}}$が成り立つことである．$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\alpha +\beta <0\text{，}$$\alpha \beta <0$
• $\overline{)\text{1}}$　$\alpha +\beta <0\text{，}$$\alpha \beta \geqq 0$
• $\overline{)\text{2}}$　$\alpha +\beta \geqq 0\text{，}$$\alpha \beta <0$
• $\overline{)\text{3}}$　$\alpha +\beta \geqq 0\text{，}$$\alpha \beta \geqq 0$

　$c$についての不等式$D\geqq 0$を解くと

$c\leqq \boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\leqq c$

となる．

　また，解と係数の関係により

$\alpha +\beta =(\boxed{\text{カキ}}+\boxed{\text{ク}})\text{，}$$\alpha \beta =(c+1)(2c+1)$

であるから，$\boxed{\text{ケ}}$を$c$について解くと

$c\leqq \boxed{\text{スセ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\leqq c\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

が得られる．

　したがって，方程式$\text{①}$の解がすべて$0$以上の実数となるような$c$のとり得る値の範囲は

$c\leqq \boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}\leqq c\leqq \boxed{\text{ヌ}}$

である．$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}\text{，}$$\boxed{\text{ヌ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_1=3$で公差が$2$の等差数列とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\boxed{\text{ア}}n+\boxed{\text{イ}}$であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{3}^{\boxed{\text{ア}}k+\boxed{\text{イ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}({\boxed{\text{オ}}}^n-1)}{\boxed{\text{カ}}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．

(2)　自然数$n$に対して，$b_n=-2\cos ({\displaystyle \frac{a_n}{3}}\pi )+2$とし，$c_n=b_n+n$とする．たとえば，数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の初項から第$6$項までをそれぞれ求めると

$b_1=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$b_2=1\text{，}$$b_3=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$b_4=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$b_5=1\text{，}$$b_6=1$

$c_1=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$c_2=3\text{，}$$c_3=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$c_4=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$c_5=6\text{，}$$c_6=7$

である．

　$m$が$3$で割り切れる正の整数，つまり，$m=3\text{，}$$6\text{，}$$9\text{，}\cdots$であるとき

$b_{m-2}=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$b_{m-1}=\boxed{\text{セ}}\text{，}$$b_m=\boxed{\text{ソ}}$

となり，$c_{m-2}\text{，}$$c_{m-1}\text{，}$$c_m$について

$\boxed{\text{タ}}<\boxed{\text{チ}}<\boxed{\text{ツ}}$

が成り立つ．$\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$c_{m-2}$
• $\overline{)\text{1}}$　$c_{m-1}$
• $\overline{)\text{2}}$　$c_m$

　$3$で割り切れる正の整数$m$に対して

となる．

　さらに，自然数$n$に対して，$d_n={\displaystyle \frac{b_n}{n{c}_n}}$とする．$c_n=b_n+n$に注意して$d_n$を変形すると，$3$で割り切れる正の整数$m$に対して

$\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{k=1}^m}{d}_k& ={\displaystyle \sum _{k=1}^m}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{k}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{c_k}})\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{k}}-{\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{k+\boxed{\text{ネ}}}}\\ & =(1+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ノ}}}})-({\displaystyle \frac{1}{m+1}}+{\displaystyle \frac{1}{m+\boxed{\text{ハ}}}})\\ & ={\displaystyle \frac{m(\boxed{\text{ヒ}}m+\boxed{\text{フ}})}{\boxed{\text{ヘ}}(m+1)(m+\boxed{\text{ハ}})}}\end{array}$

が成り立つ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=6\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=9\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=4\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{3}{4}}$であるとする．

(1)　$\cos \angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\sin \angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(2)　$x$を$1<x<8$を満たす実数とし，$\left|\overrightarrow{c}\right|=2x$であるとする．このとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積が最大となる$x$の値を求めよう．

　まず，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$x$の値によらず一定であるので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積が最大となるためには三角形$\mathrm{OAB}$を底面としたときの四面体$\mathrm{OABC}$の高さが最大になればよいことに注意しよう．

　実数$s\text{，}$$t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{D}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{n}$とおく．$\overrightarrow{n}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{ク}}x$であるので，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=4s+9t-4\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}=9(s+4t-x)\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}=\boxed{\text{ケ}}s+\boxed{\text{コ}}tx-\boxed{\text{サ}}{x}^2$となる．

　以下では，$\left|\overrightarrow{n}\right|$が，三角形$\mathrm{OAB}$を底面としたときの四面体$\mathrm{OABC}$の高さとなるように，$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{n}\text{，}$$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{n}$とする．このとき

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}=\boxed{\text{ス}}\cdots \text{①}$

である．$\text{①}$により，$s\text{，}$$t$は$x$を用いて

$s=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{セ}}}}(\boxed{\text{ソ}}x-\boxed{\text{タチ}})\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{セ}}}}(x-1)$

と表される．さらに，${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2=(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{n}$と$\text{①}$に注意して，${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2$を$x$を用いて表すと

$\begin{array}{cc}{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2& =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{セ}}}}(x^2-\boxed{\text{ト}}x+\boxed{\text{ナ}})\\ & =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{セ}}}}{(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})}^2+\boxed{\text{ネノ}}\end{array}$

となる．$1<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}<8$であるので，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のとき，$\left|\overrightarrow{n}\right|$は最大となり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は最大となる．

【５】　あるごみ焼却場では，ごみの焼却熱を利用して発電している．次の表は，ある年の$1$月から$10$月までの，この焼却場におけるごみの焼却量と発電量のデータをまとめたものである．焼却量を変量$x\text{，}$発電量を変量$y$で表す．ただし，表の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ．

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　変量$x$の合計$\mathtt{A}$の値は$\boxed{\text{アイ}}$（千トン），平均値$\mathtt{B}$は$\boxed{\text{ウ}}.\boxed{\text{エ}}$（千トン），分散$\mathtt{C}$の値は$\boxed{\text{オカ}}.\boxed{\text{キク}}$である．

(2)　変量$x$と変量$y$の相関図（散布図）として適切なものは$\boxed{\text{ケ}}$であり，変量$x$と変量$y$の相関係数の値は$\boxed{\text{コ}}.\boxed{\text{サシス}}$である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

(3)　$a$を定数として，変量$z$を$z=ax$により定める．$k$を$1$から$10$までの自然数として，$k$月における変量$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値をそれぞれ，$x_k\text{，}$$y_k\text{，}$$z_k$と表す．たとえば，$2$月の各変量の値は，$x_2=2\text{，}$$y_2=3\text{，}$$z_2=2a$である．

　変量$y$と変量$z$の差の$2$乗の平均は

${\displaystyle \frac{1}{10}}\{{(y_1-z_1)}^2+{(y_2-z_2)}^2+\cdots +{(y_{10}-z_{10})}^2$$\}\cdots \text{①}$

である．$z_k=a{x}_k$を$\text{①}$に代入したものを$a$の関数として

$f(a)$$={\displaystyle \frac{1}{10}}\{{(y_1-a{x}_1)}^2+{(y_2-a{x}_2)}^2+\cdots +{(y_{10}-a{x}_{10})}^2\}$

とおく．このとき，$f(a)$が最小となるときの$a$の値を求めよう．$f(a)$は，$a$の$2$次関数であって，最初にあげた表中の数値を利用することにより

$f(a)=\boxed{\text{セソ}}{(a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}})}^2+{\displaystyle \frac{17}{5}}$

となる．したがって，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$のとき，$f(a)$は最小となる．

　$f(a)$が最小となる$a$を用いて

$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}x$

の関係式で定まる$z$を予測発電量とよぶことにする．たとえば，$10$月の予測発電量$z_{10}$は$\boxed{\text{ツ}}.\boxed{\text{テト}}$（十万kWh）である．

　$1$月から$10$月までの各月の発電量と予測発電量の差について考えよう．発電量$y$と予測発電量$z$の差$y-z$は，$10$月の$\boxed{\text{ナ}}.\boxed{\text{ニヌ}}$（十万kWh）が最大であり，$\boxed{\text{ネ}}$月の$-\boxed{\text{ノ}}.\boxed{\text{ハヒ}}$（十万kWh）が最小である．また，$y-z$のヒストグラムは$\boxed{\text{フ}}$である．$\boxed{\text{フ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

【６】　$0\leqq A\leqq 1$を満たす実数$A$に対して，$\sqrt{A}$の近似値を求めたい．そのために，関数$f(z)=z^2-A$を用いて，次の(ⅰ)〜(ⅲ)の手順を考えよう．

(ⅰ)　自然数$N$を与えて，$Z_k={\displaystyle \frac{k}{N}}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$とおく．

(ⅱ)　$f(Z_1)\text{，}$$f(Z_2)\text{，}\cdots \text{，}$$f(Z_N)$のうち$0$以下であるものの個数$M$を求める．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{M}{N}}$を$\sqrt{A}$の近似値として出力する．

ただし，$A$と$M$の値によっては，(ⅲ)において$\sqrt{A}$の正確な値が出力されることもある．

　この手順で$\sqrt{A}$の近似値を求める〔プログラム１〕を作成した．

〔プログラム１〕

• 100 INPUYT A
• 110 INPUT N
• 120 LET M=0
• 130 FOR K=1 TO N
• 140  LET Z= $\boxed{\text{ア}}$
• 150  IF Z*Z-A<=0 THEN $\boxed{\text{イ}}$
• 160 NEXT K
• 170 LET Y= $\boxed{\text{ウ}}$
• 180 PRINT Y
• 190 END

(1)　〔プログラム１〕の$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　A/K
• $\overline{)\text{1}}$　K/A
• $\overline{)\text{2}}$　A*K
• $\overline{)\text{3}}$　K/N
• $\overline{)\text{4}}$　N/K
• $\overline{)\text{5}}$　A*N

$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　GOTO 120
• $\overline{)\text{1}}$　GOTO 160
• $\overline{)\text{2}}$　GOTO 190
• $\overline{)\text{3}}$　LET B=B+1
• $\overline{)\text{4}}$　LET M=M+1
• $\overline{)\text{5}}$　LET M=M+1/N

$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　M/N
• $\overline{)\text{1}}$　K/N
• $\overline{)\text{2}}$　(K+M)/N
• $\overline{)\text{3}}$　N/M
• $\overline{)\text{4}}$　K+N/M
• $\overline{)\text{5}}$　(K+N)/M

　〔プログラム１〕を実行し，変数 A に 0.5，変数 N に 5 を入力したとき，180 行で出力される変数 Y の値は$\boxed{\text{エ}}$であり，また，変数 A に 0.5 ，変数 N に 10 を入力したとき，180 行で出力される変数 Y の値は$\boxed{\text{オ}}$である．$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　0.5
• $\overline{)\text{1}}$　0.55
• $\overline{)\text{2}}$　0.6
• $\overline{)\text{3}}$　0.65
• $\overline{)\text{4}}$　0.7
• $\overline{)\text{5}}$　0.75
• $\overline{)\text{6}}$　0.8
• $\overline{)\text{7}}$　0.85

(2)　座標平面上で，連立不等式$x^2+y^2\leqq 1\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の表す領域$C$の面積の近似値を求めたい．そこで次の(ⅰ)〜(ⅲ)の手順を考えて，〔プログラム１〕を変更し〔プログラム２〕を作成した．

(ⅰ)　自然数$N$を与えて，$X_j={\displaystyle \frac{j}{N}}$$\text{（}j=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$N\text{）}$とおき，〔プログラム１〕の方法で$Y_j=\sqrt{1-{X_j}^2}$$\text{（}j=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$N\text{）}$を求める．

(ⅱ)　$(X_j,0)\text{，}$$(X_j,Y_j)\text{，}$$(X_{j-1},Y_{j-1})\text{，}$$(X_{j-1},0)$$\text{（}j=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$N-1\text{）}$を頂点とする台形の面積を$S_j$とする．また，$(X_N,0)\text{，}$$(X_{N-1},Y_{N-1})\text{，}$$(X_{N-1},0)$を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(ⅲ)　$S_1+S_2+\cdots +S_N$を$C$の面積の近似値として出力する．

〔プログラム２〕

• 110 INPUT N
• 111 LET S=0
• 112 LET W=1
• 113 FOR J=1 TO N
• 114  LET X= $\boxed{\text{カ}}$
• 115  LET A= $\boxed{\text{キ}}$
• 120  LET M=0
• 130  FOR K=1 TO N
• 140   LET Z= $\boxed{\text{ア}}$
• 150   IF Z*Z-A<=0 THEN $\boxed{\text{イ}}$
• 160  NEXT K
• 170  LET Y= $\boxed{\text{ウ}}$
• 180  LET S=S+ $\boxed{\text{ク}}$
• 190  LET W=Y
• 200 NEXT J
• 210 PRINT S
• 220 END

ただし，〔プログラム２〕の行番号に下線が引かれた行は〔プログラム１〕から変更されていないことを表す．

　〔プログラム２〕の$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　J/N
• $\overline{)\text{1}}$　(J-1)/N
• $\overline{)\text{2}}$　J/(N-1)
• $\overline{)\text{3}}$　K/N
• $\overline{)\text{4}}$　(K-1)/N
• $\overline{)\text{5}}$　K/(N-1)

　$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　(1+X)*(1+X)
• $\overline{)\text{1}}$　X*X
• $\overline{)\text{2}}$　(1-X)*(1-X)
• $\overline{)\text{3}}$　X*X-1
• $\overline{)\text{4}}$　X*X+1
• $\overline{)\text{5}}$　1-X*X

　$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　2*(W+Y)/N
• $\overline{)\text{1}}$　(W+Y)/(N*N)
• $\overline{)\text{2}}$　(W+Y)/(2*N)
• $\overline{)\text{3}}$　(W+Y)/N
• $\overline{)\text{4}}$　W/N+Y/2
• $\overline{)\text{5}}$　Y

　〔プログラム２〕を実行し， N に 2 を入力すると，210 行で出力される変数 S の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　0.25
• $\overline{)\text{1}}$　0.5
• $\overline{)\text{2}}$　0.625
• $\overline{)\text{3}}$　0.75
• $\overline{)\text{4}}$　0.785
• $\overline{)\text{5}}$　0.875