2013　山形大学　前期MathJax

【１】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-2x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=-x^2+2x-35$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)　放物線$C_1$と放物線$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．点$(a,-a^2+2a-35)$における放物線$C_2$の接線の方程式を求めよ．

(3)　放物線$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　(1)で求めた交点の$x$座標を$b\text{，}c\text{（}b<c\text{）}$とする．また，$b\leqq a\leqq c$とする．このとき，放物線$C_1$と放物線$C_2$および(2)で求めた接線で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{352}{3}}$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{b}=2\sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|$を$\left|\overrightarrow{p}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{q}\right|$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{p}\right|}{\left|\overrightarrow{q}\right|}}$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}}$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

【３】　公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2\text{，}{S}_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$S_n$を求めよ．

(4)　$m$を自然数とする．${\displaystyle \frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^n}\log xdx$を求めよ．

(2)　関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．

$(n-1)!\leqq n^n{e}^{-n+1}\leqq n!$

(3)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}$

を求めよ．

【１】　関数$f(x)=3x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$と$g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=3x+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)$の増減を調べて極値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を漸近線も含めて描け．また，その漸近線の方程式を求めよ．

(3)　$k$を定数とするとき，$x$についての方程式$f(x)=kx$の異なる実数解の個数を求めよ．

【２】　関数$f(x)=\left|x\right|\sqrt{x+1}\text{（}-1\leqq x\text{）}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$-1\leqq x\leqq 0$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　連立不等式$-1\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq f(x)$が表す領域を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(3)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの循環小数$a=1.\stackrel{\cdot }{2}\text{，}b=0.\stackrel{\cdot }{8}\stackrel{\cdot }{1}$に対して，$ab$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$a$を定数とする．$xy$平面上の曲線$y={\log }_{2}x$と直線$y=x+a$は$2$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$x_1\text{，}{x}_2$が$x_2=4x_1$を満たすように，$a$の値を定めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$xy$平面において，曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$と直線$y=-x+{\displaystyle \frac{10}{3}}$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$を満たすとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{CE}}\right|}^2$を$t$の式で表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．

(4)　$▵\mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．

(ⅰ)　$S(t)={\displaystyle \frac{3t^2-3t+1}{2}}$を示せ．

(ⅱ)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$の逆関数を$f^{-1}(x)$とする．$xy$平面上に$2$曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=f^{-1}(x)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)　$a\geqq 2$とする．曲線$C_1$上の点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})$における接線を$l_1\text{，}$曲線$C_2$上の点$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{a^2}{2}},a)$における接線を$l_2$とし，$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．

(ⅰ)　$\tan \theta$を$a$の式で表せ．

(ⅱ)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\sin }^2\theta$を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{2}}& -1\\ 1& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}p& -2\\ 1& q\end{array}\right)\text{，}J=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p\text{，}q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．

(1)　$p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　$J^n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)$を示せ．

(3)　$A^n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\left(\begin{array}{cc}1+2n& -2n\\ 2n& 1-2n\end{array}\right)$を示せ．

(4)　行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,1)\text{，}(-2,q)$が，それぞれ点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_n}$と$\overrightarrow{{\mathrm{OQ}}_n}$のなす角を${\theta }_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos {\theta }_n$を求めよ．

【１】　面積が$1$である$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{E}$があり，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$がある．正の実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=x:y\text{，}\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=y:z\text{，}\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=z:w$となるように定める．線分$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$が$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{G}$で交わるとき，次の問に答えよ．

(1)　三角形の面積の比を用いて，${\displaystyle \frac{x}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{y}{z}}\cdot {\displaystyle \frac{z}{w}}=1$となることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{AFE}$の面積を$x\text{，}y\text{，}z$を用いて表せ．

(3)　$\alpha ={\displaystyle \frac{x}{y}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{y}{z}}$とする．このとき，$▵\mathrm{DEF}$の面積を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは，点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ．

【３】　$R\text{，}r$を正の実数とし，$2r<R\leqq 3r$とする．右図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点${\mathrm{O}}^{\prime }$を中心とする半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに転がるものとする．ただし，点${\mathrm{O}}^{\prime }$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわりに動くものとする．はじめに点${\mathrm{O}}^{\prime }$は$(R-r,0)$の位置にあり，円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と動径${\mathrm{OO}}^{\prime }$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta ),y(\theta ))$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$x(\theta )\text{，}y(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{2r}{R}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$において，$x(\theta )$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$R=3\text{，}r=1$とする．$\theta >0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角${\theta }_0$を求めよ．また，$0\leqq \theta \leqq {\theta }_0$のとき，$y(\theta )\geqq 0$を示せ．

(4)　$R=3\text{，}r=1$とする．$0\leqq \theta \leqq {\theta }_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,1)$を${\mathrm{P}}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f({\mathrm{P}}_n)={\mathrm{P}}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．

(2)　$1$次変換$g$は，点$(1,1)$を点$(-2r,1)$に，点$(-2r,1)$を点$(2r^2-r,1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．

(3)　$C=AB{A}^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．

(4)　行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【４】　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発し，硬貨$\mathrm{A}$と硬貨$\mathrm{B}$を同時に投げるごとに，次のルールで移動する．

・硬貨$\mathrm{A}$が表のときは$x$座標が正の方向に$1$進み，裏のときは$x$座標が負の方向に$1$進む．

・硬貨$\mathrm{B}$が表のときは$y$座標が正の方向に$1$進み，裏のときは$y$座標は変化しない．

点$(1,0)$を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　硬貨$\mathrm{A}$と硬貨$\mathrm{B}$を同時に投げることを$4$回繰り返し，点$\mathrm{P}$を移動させたとき，$\cos \angle \mathrm{POQ}=0.8$となる位置に点$\mathrm{P}$がくる確率を求めよ．

(2)　硬貨$\mathrm{A}$と硬貨$\mathrm{B}$を同時に投げることを$8$回繰り返し，点$\mathrm{P}$を移動させたとき，$\sin \angle \mathrm{POQ}=0.8$となる位置に点$\mathrm{P}$がくる確率を求めよ．