2013　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2-2ax$と直線$y=bx$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の異なる$2$点で交わる．また，放物線の頂点を$\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を定めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．

(3)　$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．

(4)　$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．

【２】　$xy$平面上に中心$(1,0)\text{，}$半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を覗いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を覗いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．

(4)　$k=3$のとき，直線$y=x+a+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$9$枚のカードがある．そのうち$8$枚のカードを$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ分ける．以下の問に答えよ．

(1)　$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．

(2)　各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．

(3)　各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．

【４】　中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり，その頂点を反時計回りに${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{E}}_1\text{，}{\mathrm{F}}_1$とする．辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$上に点${\mathrm{A}}_2$を$\angle {\mathrm{A}}_1\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2=15\mathrm{°}$を満たすようにとり，辺${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$上に点${\mathrm{B}}_2$を$\angle {\mathrm{B}}_1\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2=15\mathrm{°}$を満たすようにとる．同様に，図のように辺${\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1\text{，}{\mathrm{E}}_1{\mathrm{F}}_1\text{，}{\mathrm{F}}_1{\mathrm{A}}_1$上にそれぞれ点${\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{E}}_2\text{，}{\mathrm{F}}_2$をとり，点${\mathrm{A}}_2$から点${\mathrm{F}}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく．

　上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2\text{，}{\mathrm{E}}_2{\mathrm{F}}_2\text{，}{\mathrm{F}}_2{\mathrm{A}}_2$上にそれぞれ点${\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{C}}_3\text{，}{\mathrm{D}}_3\text{，}{\mathrm{E}}_3\text{，}{\mathrm{F}}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　辺${\mathrm{OA}}_2$の長さを求めよ．

(2)　正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．

(3)　正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．

【５】　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$は空間のベクトルであり，次の条件を満たしている．

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{d}\right|=1$

　以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$である．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．

(2)　内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．

【４】　正の整数$n$について，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める．

$f_1(x)=x\log x$

$f_{n+1}(x)=(n+1){\displaystyle {\int }_1^x}{f}_n(t)dt+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}(x^{n+1}-1)$

以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．

(1)　関数$f_2(x)$を求めよ．

(2)　関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．

(3)　$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^{\prime }(1)$を求めよ．

【５】　$a\text{，}b$を$a^2+{\displaystyle \frac{b^2}{6}}=1$を満たす正の実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}2\sqrt{2}a& b\\ -b& -\sqrt{2}a\end{array}\right)$に対して，以下の問に答えよ．

(1)　実数$p\text{，}q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，$p\text{，}q$を$a$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{(-1)}^k{A}^k$を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$とし，$m$を正の整数とする．$x$と$y$についての方程式$A^m\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ 0\end{array}\right)$が$x=y=0$以外の解をもつとき，$m$の満たす条件を求めよ．