2013　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　正の整数$n\text{，}p\text{，}q$について，等式

${(\sqrt{p}+\sqrt{q})}^{2n-1}=a_n\sqrt{p}+b_n\sqrt{q}$

を考える．

(1)　ある正の整数$a_n\text{，}{b}_n$が上の等式を満たすことを示せ．

(2)　$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n\text{，}{b}_n$はただ一通りに定まることを示せ．

(3)　$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n\text{，}{b}_n$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【２】　平面上で$2$つの円$S\text{，}{S}^{\prime }$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^{\prime }$が$S$より小さいとする．円$S\text{，}{S}^{\prime }$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }$とおく．円$S^{\prime }$上にあって直線${\mathrm{PO}}^{\prime }$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}\text{，}$直線${\mathrm{BO}}^{\prime }$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}\text{，}$直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{AO}⫽{\mathrm{QO}}^{\prime }$を示せ．

(2)　$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．

【３】　実数$a$に対し，行列$X(a)$を

$X(a)={\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}\left(\begin{array}{cc}2a^2+1& -a\\ -a& a^2+2\end{array}\right)$

と定める．

(1)　ベクトル$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$を考える．ベクトル$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)\text{，}X(a)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$の大きさをそれぞれ$l_0\text{，}{l}_1$とおく．このとき

$l_0\leqq l_1$

を示せ．ただしベクトル$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．

(2)　(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$を示せ．

(3)　$a\text{，}b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m\text{，}n$は存在しないことを示せ．

【４】　$xy$平面において，連立不等式

$x^2+y^2\leqq 1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

で定まる図形を$S$とする．$t$を$0<t<1$となる定数とし，$S$を直線$y=t$で$2$つの部分に切断する．$S_1$を$S$と領域$y\geqq t$の共通部分，$S_2$を$S$と領域$y\leqq t$の共通部分とする．

(1)　図形$S_1\text{，}{S}_2$を描け．

(2)　$S_1\text{，}{S}_2$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$V_1\text{，}{V}_2$とする．不等式

${\displaystyle \frac{(S_1\text{の面積})}{(S_2\text{の面積})}}\geqq {\displaystyle \frac{(V_1\text{の体積})}{V_2\text{の体積})}}$

を示せ．