2013　熊本大学　前期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の奇数として，次の集合を考える．

${\mathrm{A}}_n=\{{}_{n}C_1,{}_{n}C_2,\cdots ,{}_{n}C_{\frac{n-1}{2}}\}$

以下の問いに答えよ．

(問１)　${\mathrm{A}}_9$のすべての要素を求め，それらの和を求めよ．

(問２)　${}_{n}C_{\frac{n-1}{2}}$が${\mathrm{A}}_n$内の最大の数であることを示せ．

(問３)　${\mathrm{A}}_n$内の奇数の個数を$m$とする．$m$は奇数であることを示せ．

【２】　$f(x)$を$x=-1$で極大，$x=2$で極小となる$3$次関数で

${\displaystyle {\int }_0^2}{f}^{\prime }(x)dx=-5$

を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(問２)　$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

【３】　直方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1\text{，}$$\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OD}}$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$とし，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{CM}$におろした垂線と線分$\mathrm{CM}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{PC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}\text{，}t$を用いて表せ．

(問２)　$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(問３)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PH}}\right|}^2$の最小値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=2a_n+n^2$

で与えられるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(問２)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1,-2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

(問２)　$1\leqq s+t\leqq 2$を満たす実数$s\text{，}t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{R}$からなる領域を$E$とする．このとき，領域$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．

【３】　半径$1\text{，}$中心角$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta )$とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(\theta )$を求めよ．

(問２)　$0<\theta <\pi$の範囲で$f(\theta )$は単調に増加し，$f^{\prime }(x)$は単調に減少することを示せ．

(問３)　定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}f(\theta )d\theta$

を求めよ．

【４】　$xy$平面上で，点$(1,0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が$2$である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(問２)　円$x^2+y^2={\displaystyle \frac{9}{4}}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．

【１】　$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$は$\{1,2,3,4,5,6\}$の空でない部分集合で，$\mathrm{X}\cap \mathrm{Y}$は空集合とする．また，$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君が以下のルールで対戦する．

(ⅰ)　$1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$\mathrm{X}$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$\mathrm{X}$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$\mathrm{Y}$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．

(ⅱ)　$1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで勝負を続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．

以下の問いに答えよ．

(問１)　さいころを投げたとき，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$に属する目が出る確率をそれぞれ$p\text{，}q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．

(問２)　$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(\mathrm{X},\mathrm{Y})$は何通りあるか．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1,-2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

(問２)　点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【４】　$xy$平面上で，点$(1,0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が$2$である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(問２)　$a$を正の数とする．円$x^2+y^2=a$と$C$の交点の個数が，$a$の値によってどのように変わるかを調べよ．