2013　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　実数$x$についての次の不等式を解け．

${(1+{\displaystyle \frac{x}{2}})}^2<{(1+{\displaystyle \frac{x}{3}})}^3$

【２】　不等式$|{\log }_{5}x|+{\log }_{5}y\leqq 1$の表す座標平面上の領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

問１　領域$D$を図示せよ．

問２　領域$D$に含まれる点のうち，$x$座標と$y$座標がともに整数となるものは全部でいくつあるか答えよ．

【３】　関数$y={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$について，以下の問に答えよ．

問１　$t=\sin x+\cos x$として，$\sin x\cos x$と$y$をそれぞれ$t$の関数で表せ．

問２　問１で定めた$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

問３　$y$の最大値と最小値，および，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【１】　$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,2)\text{，}\mathrm{B}(s,|1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．

問１　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．

問３　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$n$回（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）投げたとき，$1$の目が出る回数が偶数となる確率を$p_n\text{，}$奇数となる確率を$q_n$とする．ただし，$0$は偶数に含まれるものとする．以下の問いに答えよ．

問１　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_2$をそれぞれ求めよ．

問２　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．

問３　$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ．

問4　$p_n\text{，}{q}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{6x^2+4x+1}{(x+1)(2x^2+1)}}$とおく．以下の問いに答えよ．

問１　等式$f(x)={\displaystyle \frac{a}{x+1}}+{\displaystyle \frac{bx+c}{2x^2+1}}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めよ．

【２】　行列$C=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．

問１　座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が，$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする．線分$\mathrm{OA}$の長さを$\left|\mathrm{OA}\right|\text{，}$線分$\mathrm{OB}$の長さを$\left|\mathrm{OB}\right|$とするとき，${\displaystyle \frac{\left|\mathrm{OB}\right|}{\left|\mathrm{OA}\right|}}$を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．

問２　$C\text{，}{C}^2\text{，}\cdots \text{，}{C}^n$の表す$n$個（$n\geqq 2$）の$1$次変換によって，座標平面上の点${\mathrm{P}}_0$がそれぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$に移されるとする．点${\mathrm{P}}_0$の座標が$(1,1)$であるとき，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1\text{，}$線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の長さの総和を$L_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めよ．