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2013-11831-0201
2013 高知工科大学 後期
マネジメント学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の各問に答えよ.
(1) a>0 のとき, a3 ×a 23× a7 6 を簡単にせよ.
2013-11831-0202
(2) 座標平面上の 2 点 A ( 3,3 ), B (7 ,1) に対して,線分 AB の垂直 2 等分線の方程式を求めよ.
2013-11831-0203
(3) log2 ⁡156 +log4 2 53 +log8 ⁡ 23 を簡単にせよ.
2013-11831-0204
(4) | a→ |=3 , | b→ | =2 , | a→ -b→ |= 19 のとき, |a ⇒+ b→ | の値を求めよ.
2013-11831-0205
【2】 座標平面上に 3 点 A ( 3,6 ), B (1 ,2) ,C ( -2,1 ) がある.次の各問に答えよ.
(1) 線分 AB , BC ,CA の長さを求めよ.
(2) ∠ABC の大きさを求めよ.
(3) ▵ABC の外接円の半径の長さ R を求めよ.
(4) ▵ABC の外接円の中心を点 D とする. ∠CDA の大きさを求めよ.
2013-11831-0206
【3】 a を定数とする. 3 次方程式 x 3-5⁢ x2+ (a+ 6)⁢ x-2⁢ a=0 が異なる 3 つの実数解をもつとき,次の各問に答えよ.
(1) x=2 は解であることを示せ.
(2) a のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) 異なる 3 つの実数解が等差数列となるような a の値を求めよ.
2013-11831-0207
【4】 a を定数とする.放物線 y =x2 +a⁢x +1 が x 軸と 2 個の共有点をもたないとき,次の各問に答えよ.
(1) a のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 2 つの放物線 y =-x2 +4⁢ x+1 と y =x2 +a⁢x +1 で囲まれた図形の面積 S を a で表せ.
(3) (2)で求めた面積 S の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの a の値を求めよ.
2013-11831-0208
システム工,環境理工,情報学群
(1) log2 ⁡96- log2⁡ 27+ log4⁡ 48 を簡単にせよ.
2013-11831-0209
(2) 男子 7 人女子 3 人が一列に並ぶとき,両端が男子で,女子どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか.
2013-11831-0210
(3) limx →1 a ⁢x+b x- 1= 3 であるとき,定数 a , b の値を求めよ.
2013-11831-0211
(4) 定積分
∫ -π6 π3 11+cos ⁡2⁢x ⁢ dx
の値を求めよ.
2013-11831-0212
【2】 次の各問に答えよ.
(1) a ,b を定数とする. x が実数全体を動くとき, 2 次式
( x-a) 2+ (x -b) 2
の値を最小にする x を a , b を用いて表せ.
(2) 座標平面上の 2 点 A ( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) に対し,距離の 2 乗の和 AP2+ BP2 を最小にする点 P の座標 ( x,y ) を x1 ,y 1 ,x 2 ,y2 を用いて表せ.
(3) 座標平面上の 3 点 A ( x1, y1 ), B ( x2, y2 ), C (x 3,y 3) に対し,距離の 2 乗の和 AP2+ BP2+ CP2 を最小にする点 P の座標 ( x,y ) を x1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 ,x 3 ,y3 を用いて表せ.
2013-11831-0213
【3】 実数全体で定義され x =0 で微分可能な関数 f ⁡(x ) は, f′⁡ (0) =-3 かつ任意の実数 x , y に対して
f⁡( x+y) =f⁡( x)+ f⁡( y)+ x2⁢ y-2⁢ x⁢y+ x⁢y2 -9
を満たす.次の各問に答えよ.
(1) f⁡( 0) の値を求めよ.
(2) 関数 f ⁡(x ) がすべての実数 x について微分可能であることを示し, f′⁡ (x ) を求めよ.
(3) 曲線 y =f⁡ (x ) と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2013-11831-0214
【4】 2 次の正方行列 A n ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) は
A1 =( 21 0 1) ,A 2=( 7 30 5 )
An+ 2- (5 1 05 )⁢ An+ 1+3 ⁢( 21 02 ) ⁢An =O
を満たす.ただし O は零行列である.次の各問に答えよ.
(1) B=( 2 1 02 ) とおくとき,すべての自然数 n について
Bn= ( 2nn ⋅2n -1 02 n )
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(2) An+ 1-3 ⁢An を求めよ.また, An +1- B⁢An を求めよ.
(3) An を求めよ.