2013　関西大　総合情報学部2月4日実施MathJax

曲線$C:y=(x-a)(x-1)(x-a-1)$

を考える．$3$つの点を$\mathrm{P}(a,0)\text{，}\mathrm{Q}(1,0)\text{，}\mathrm{R}(a+1,0)$とし，点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$が曲線$C$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{Q}$と異なる．

(3)　$▵\mathrm{SPR}$の面積の最大値を求めよ．

$a_1=3\text{，}{b}_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+b_n+2\text{，}{b}_{n+1}=a_n+2b_n$

で定められている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$s_n=a_n+b_n$とするとき，数列$\{s_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CD}=3\text{，}\mathrm{DA}=4$

とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{③}}$から$\boxed{\text{⑥}}$は数値でうめよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{ABC}=\alpha$とすると，辺$\mathrm{AC}$の長さは$\alpha$を用いて

$\mathrm{AC}=\boxed{\text{①}}$

と表すことができる．また，$▵\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{CDA}=\beta$とすると，辺$\mathrm{AC}$の長さは$\beta$を用いて

$\mathrm{AC}=\boxed{\text{②}}$

と表すことができる．

　内接する四角形の対角の和が$180\mathrm{°}$であることを用いて，$\cos \alpha$の値を求めると，$\cos \alpha =\boxed{\text{③}}$となる．このことより，$\mathrm{AC}$の長さは，$\mathrm{AC}=\boxed{\text{④}}$となる．

(2)　以上より，$▵\mathrm{ABC}$の面積は，$\boxed{\text{⑤}}$となる．同様に，$▵\mathrm{ACD}$の面積も求めることができ，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$\boxed{\text{⑥}}$となる．

(1)　$n=2$のとき，得点が$2$となる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$n=4$のとき，得点が$3$となる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$n=4$のとき，得点の期待値は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$1$点以上の得点が得られる確率を${\displaystyle \frac{9}{10}}$以上としたい．このとき，最小の$n$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君がそれぞれ$3$枚の硬貨を同時に投げた．このとき，$2$人の得点が等しくなる確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．