2013　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

(1)　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$f(x)$の導関数を求めると，$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{{(e^{2x}+1)}^2}}$となり，第$2$次導関数を求めると，$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{{(e^{2x}+1)}^3}}$となる．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

(3)　$a>0$のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

(4)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a}}$を求めよ．

　$m$を$0$でない定数とし，点$\mathrm{P}(1,0)$を直線$l:y=mx$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(a,b)$とおく．このとき，${\displaystyle \frac{b}{a-1}}\cdot m$の値は$\boxed{\text{①}}$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点は$l$上にあることから，$b$を$a$と$m$を用いて表すと$\boxed{\text{②}}$である．よって，$a\text{，}b$を$m$で表すと，$a=\boxed{\text{③}}\text{，}b=\boxed{\text{④}}$となる．さらに，点$\mathrm{R}(0,1)$を$l$に関して対称移動した点を$\mathrm{S}$とおき，$\mathrm{S}$の座標を$m$で表すと，$x$座標は$\boxed{\text{⑤}}\text{，}y$座標は$\boxed{\text{⑥}}$となる．このとき，

$T=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{③}}& \boxed{\text{⑤}}\\ \boxed{\text{④}}& \boxed{\text{⑥}}\end{array}\right)$

とおく．$m=\tan \theta$とおくと，$T$の$(1,1)$成分は$\cos \boxed{\text{⑦}}$で，$T^2$を計算すると$\boxed{\text{⑧}}$ となる．

(1)　$\mathrm{OP}$の長さと$\mathrm{P}$の座標を，$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標の和が最大になるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{OP}$と半円$C$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．