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2014-10271-0101
2014 電気通信大学 昼間・前期
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= ex-2 ex +2 について,以下の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.
(ⅰ) 極限 limx→ ∞f⁡ (x ), limx →-∞ f⁡ (x ) をそれぞれ求めよ.
(ⅱ) 導関数 f ′⁡( x) および第 2 次導関数 f ″⁡( x) を求めよ.
(ⅲ) 曲線 y =f⁡( x) を C とするとき, C の変曲点の座標を求めよ.
(ⅳ) 曲線 C の変曲点における接線 l の方程式を求めよ.
(ⅴ) 曲線 C ,x 軸および接線 l で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2014-10271-0102
【2】 2 つの関数
f⁡( x)= x⁢4- x2 ( 0≦x≦ 2 ),g ⁡(y )= 4-y2 ( 0≦y≦ 2 )
を考える.座標平面上において,曲線 y =f⁡( x) を C 1 とし,曲線 x =g⁡( y) を C 2 とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) C1 と C 2 との共有点の座標を求めよ.
(ⅱ) 関数 f ⁡(x ) の最大値 M を求めよ.
(ⅲ) C1 と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ.
(ⅳ) 点 ( x,y ) が C 1 上にあるとき, x2 を y を用いて表せ.
(ⅴ) y 軸および 2 曲線 C1 ,C 2 で囲まれた図形を, y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
2014-10271-0103
【3】 次の条件によって定められる数列 { an } を考える.
a1 =0 ,a n+1 = 2⁢n ⁢( n+1) 3⁢n -an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
このとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 不等式 an<n を数学的帰納法によって証明せよ.
(ⅱ) 数列 { bn } を bn= n n-an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) で定める. bn+ 1 を b n を用いて表せ.
(ⅲ) 数列 { bn } の一般項を求めよ.
(ⅳ) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(ⅴ) 極限 limn→ ∞ a nn および limn→ ∞ a 2⁢a 3⁢a 4⁢⋯ ⁢an n! を求めよ.
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【4】 行列 A =( 31 -1 1 ) について,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) A⁢( 1 a )=k⁢ ( 1a ) を満たす実数 a , k の値を求めよ.
(ⅱ) 行列 P =( 1p q0 ) が A ⁢P=P ⁢( r1 0r ) を満たすとき,実数 p , q ,r の値を求めよ.
(ⅲ) 自然数 n に対して,行列 B =( α1 0 α ) の n 個の積 B n が
Bn= ( αn n⁢α n-1 0 αn )
となることを証明せよ.ただし, α は 0 と異なる実数とする.
(ⅳ) 自然数 n に対して, A の n 個の積 A n を求めよ.
(ⅴ) 自然数 n に対して,実数 xn ,yn を An= xn⁢ A+yn ⁢E を満たすように定めるとき, xn , yn を n を用いて表せ.ただし, E は 2 次の単位行列とする.