2014　学習院大学　文学部MathJax

（ルール）$\mathrm{P}$が$(a,b)$にいるとき，大きなコインが表なら$\mathrm{P}$を$(a+1,b)$に動かし，裏なら$(a,b+1)$に動かす．また，$\mathrm{Q}$が$(c,d)$にいるとき，小さいコインが表なら$\mathrm{Q}$を$(c-1,d)$に動かし，裏なら$(c,d-1)$に動かす．

最初に，$\mathrm{P}$は$(0,0)$にいて，$\mathrm{Q}$は$(4,4)$にいるとする．この状態から，大小$2$つのコインを同時に投げて（ルール）に従って$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を動かす試行を$4$回繰り返したときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の位置について，次の問いに答えよ．ただし，大小どちらのコインについても，表と裏の出る確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$に等しいとする．

(1)　$\mathrm{P}$が$(1,3)$にいる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ点にいる確率を求めよ．

$n^2+(1+ai)n+b+2i=0$

を満たす整数$a\text{，}b\text{，}n$の組をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}}$

が成り立つことを示せ．

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}(3x^2+tx-2|x^2-tx|)dx$

とおく．$t$が実数全体を動くとき，$f(t)$の最大値と，最大値を与える$t$の値を求めよ．