2014　関西大　文系学部2月1日実施MathJax

$\{\begin{array}{l}{(x-y)}^2+{(y-z)}^2+{(z-x)}^2=26\\ x^2+y^2+z^2=42\\ xyx=20\end{array}$

を考える．ただし，$x>0\text{，}y>0\text{，}z>0$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

　最初の式を計算して整理することにより，

$\boxed{\text{①}}(xy+yz+zx)+\boxed{\text{②}}(x^2+y^2+z^2)=26$

となる．よって，$xy+yz+zx$の値は$\boxed{\text{③}}$となる．また，

${(x+y+z)}^2=x^2+y^2+z^2+\boxed{\text{④}}(xy+yz+zx)$

と与えられた条件により，$x+y+z$の値は$\boxed{\text{⑤}}$となる．

　したがって，$t$に関する$3$次式$(t-x)(t-y)(t-z)$を計算すると，$t$だけの式となり，$\boxed{\text{⑥}}$となる．

　$x<y<z$を満たす解は$(x,y,z)=\boxed{\text{⑦}}$である．

(1)　$\cos A=\boxed{\text{①}}\text{，}\sin A=\boxed{\text{②}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{③}}$である．

(2)　各辺の長さが$▵\mathrm{ABC}$の各辺の長さの$2$倍であるような三角形の面積は$\boxed{\text{④}}$である．

　自然数$n$に対して，各辺の長さが$▵\mathrm{ABC}$の各辺の長さの$2^{n-1}$倍であるような三角形の面積を$S_n$とおく．このとき${\log }_2{S}_n$は$n$を用いて$\boxed{\text{⑤}}$と表される．$S=S_1+S_2+\cdots +S_n$は$n$を用いて$\boxed{\text{⑥}}$と表される．また，$S>2^{26}$となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{⑦}}$である．

(1)　$\mathrm{P}(x,y)$が$▵\mathrm{OAB}$の辺全体を動くとき，点$(p,q)$が描く曲線を求めて解答欄の$pq$平面に図示せよ．

(2)　(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．