2014　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さがそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$であるとする．それらはいずれも$1$ではなく，$a>b+1$であるとする．$x={\log }_{a-b}c\text{，}y={\log }_{a+b}c$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$x>1\text{，}y<1$であることを示せ．

(2)　$x\text{，}y$が$2xy=x+y$なる関係を満たしているとき，三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

(3)　(2)に加えて，

$2{\log }_{a+b}b\cdot {\log }_{a-b}b={\log }_{a+b}b+{\log }_{a-b}b$

が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【２】　$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{AC}=7$である三角形$\mathrm{ABC}$について考える．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を，$▵\mathrm{APQ}$の面積が$▵\mathrm{ABC}$の面積の半分となるようにとる．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\cos A$の値を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{AP}=x\text{，}\mathrm{AQ}=y$とおくとき，$xy$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{⑤}}$から$\boxed{\text{⑧}}$は，不等号あるいは等号$\text{（}<\text{，}>\text{，}\leqq \text{，}\geqq \text{，}=\text{）}$のいずれかでうめよ．

(1)　$-\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =\boxed{\text{①}}\sin (\theta +\boxed{\text{②}})$

(2)　$-\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =\boxed{\text{③}}\sin (\theta +\boxed{\text{④}})$

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，$A=2\sin \theta \text{,}B=-\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta \text{，}C=-\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$とおくと，

$\begin{array}{cc}\hfill A& \boxed{\text{⑤}}B\hfill \\ \hfill -1& \boxed{\text{⑥}}B\\ \hfill -1& \boxed{\text{⑦}}C\hfill \\ \hfill A& \boxed{\text{⑧}}C\hfill \end{array}$

である．

【４】　第$n$項が$a_n=2n^2+3n+1$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_n={\displaystyle {\int }_n^{n+1}}(p{x}^2+qx+r)dx$と表すとき，

$p=\boxed{\text{①}}\text{，}q=\boxed{\text{②}}\text{，}r=\boxed{\text{③}}$

である．

(2)　$S=a_{10}+a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{99}=\boxed{\text{④}}$である．