2015　千葉大学　先進科学プログラム12月MathJax

【１】　$x$に関する$4$次方程式$x^4-4x^3+2x^2+4x+1=0$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$t=x^2-2x$とおいて，$t$に関する方程式に直しなさい．

(2)　(1)で求めた方程式を解き，最初の$4$次方程式のすべての解を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=x^3-a{x}^2$について，以下の問いに答えなさい．ただし，$a>0$とする．

(1)　$f(x)$が極小となる$x$の値を求めなさい．

(2)　$f(x)$と$x$軸で囲まれる領域の面積を求めなさい．

【３】　${(1+\sqrt{3}i)}^6$を計算しなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

【４】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が鋭角で，$\tan \alpha =2\text{，}\tan \beta =5\text{，}\tan \gamma =8$のとき，$\alpha +\beta +\gamma$の値を求めなさい．

【５】　数直線上の動点$\mathrm{P}$を考える．動点$\mathrm{P}$は最初原点にあるとし，コインを投げて表が出れば正の方向に$1$だけ進み，裏が出ればその場にとどまる．コインの表と裏が出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，コインを$3$回投げて$2$だけ正の方向に進む確率を求めなさい．

【６】　三角形$\mathrm{OAB}$に対して，点$\mathrm{P}$の位置は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と表され，実数$s\text{，}$$t$は$2s+{\displaystyle \frac{1}{2}}t=1$を満たしながら変化する．

(1)　点$\mathrm{P}$の存在範囲を図示しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$がなす角を$60\mathrm{°}\text{，}$それぞれの大きさを$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$とする．このとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最小値を求めなさい．