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2015-10271-0201
2015 電気通信大学 後期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= 2 ⁢x2 +1x +1
で定義する.このとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 次の極限を求めよ.
limx →∞ f⁡( x) ,lim n→- ∞f⁡ (x ), limx →-1 +1f ⁡(x ), limx →-1- 0f⁡ (x)
(ⅱ) 導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(ⅲ) 関数 f ⁡( x) の増減を調べ,極値を求めよ.
(ⅳ) 次の等式が x についての恒等式となるように,定数 a , b ,c の値を求めよ.
{ f⁡( x)} 2=a + bx+1 + c( x+1) 2
(ⅴ) 曲線 y =f⁡( x) と直線 y =1 で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
2015-10271-0202
【2】 座標平面上の 2 つの曲線
C1 :y=tan ⁡x (0≦ x≦ π3 ), C2 :y= k⁢sin⁡ x( 0≦x≦ π 3)
について,以下の問いに答えよ.ただし, k は正の定数とする.
(ⅰ) 曲線 C1 ,x 軸および直線 x = π3 で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
(ⅱ) 曲線 C 1 と C 2 が 0 <x< π 3 で交点をもつような k の値の範囲を求めよ.
以下では, k は(ⅱ)で求めた範囲にあるとする.このとき, 2 つの曲線 C1 ,C 2 と直線 x = π3 で囲まれた 2 つの部分について,左側の面積を S 1 とし,右側の面積を S 2 とする.
(ⅲ) S1 -S2 を k の式で表せ.
(ⅳ) S1 を k の式で表せ.
(ⅴ) S1 +S2 を最小にする k の値を求めよ.
2015-10271-0203
【3】 a を定数として,関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= a⁢log⁡ x-( log⁡x) 2
で定義する.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, log⁡x は自然対数を表し, e はその底とする.
(ⅰ) 導関数 f ′⁡( x) と第 2 次導関数 f ″⁡ (x ) を求めよ.
(ⅱ) 点 ( ea, f⁡( ea) ) が曲線 y =f⁡ (x ) の変曲点となるように a の値を定めよ.
以下では, a は(ⅱ)で定めた値とする.
(ⅲ) 曲線 y =f⁡( x) の凹凸を調べよ.
(ⅳ) 曲線 y =f⁡ (x ) 上の点 ( e,f⁡ (e )) における接線を l 1 とし,変曲点 ( ea, f⁡( ea )) における接線を l 2 とする. l1 と l 2 の方程式を求めよ.
(ⅴ) 不定積分 ∫log⁡ x⁢dx , ∫ ( log⁡x )2 ⁢dx を求めよ.
(ⅵ) 曲線 y =f⁡( x) と 2 直線 l1 ,l2 とで囲まれた図形の面積 S を求めよ.
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【4】 数列 { an } が漸化式
an+ 1=3 - 1an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
を満たすとする.また,この数列に対して,方程式
x=3- 1x
を考え,その 2 つの解を α , β ( α<β ) とする.数列 { an } の初項 a1=c が c >α を満たすとき,以下の問いに答えよ.ただし,解答する際に α , β を用いてよい.
(ⅰ) 4 つの数 0 , 1 ,α , β を小さい順に並べよ.
(ⅱ) a1 <a2 となる定数 c の値の範囲を求めよ.
(ⅲ) c が(ⅱ)で求めた範囲にあるとき, 0<a n<a n+1 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) が成り立つことを示せ.
(ⅳ) c≧β のとき, an ≧β ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) が成り立つことを示せ.
(ⅴ) 等式
an+ 1-β = an- βa n⁢β ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
が成り立つことを示せ.さらに,これを用いて, c>α のとき,
|a n+1 -β| ≦r⁢ |a n-β | ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
を満たす定数 r ( 0 <r<1 ) が存在することを示せ.
(ⅵ) 極限値 limn→ ∞a n を求めよ.
2015-10271-0205
【5】で配点60点
【5】 次の[Ⅰ],[Ⅱ]に答えよ.
[Ⅰ] 以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 関数 f ⁡(x )= (x -1) 3x 2⁢( x+1) の導関数 f ′⁡( x) を,分母と分子がともに因数分解された既約な分数式の形で求めよ.
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(ⅱ) 定積分 ∫0π 2sin ⁡x⁢sin ⁡2⁢x ⁢sin⁡3 ⁢x⁢d x を求めよ.
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(ⅲ) 極限値 limn→ ∞ 1 n2 ∑k= 1n 4⁢n 2-k2 を求めよ.
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[Ⅱ] 座標空間の 3 点 A ( 1,0, -1) ,B ( 0,1, 3) ,C ( 0,0, 1) について,以下の問いに答えよ.
(ⅳ) 点 C から 2 点 A , B を通る直線に垂線 CF を下す.点 F の座標を求めよ.
(ⅴ) 原点 O から 3 点 A ,B , C の定める平面に垂線 OH を下ろす.点 H の座標を求めよ.
(ⅵ) 4 点 O ,A , B ,C を頂点とする四面体の体積 V を求めよ.