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2015-11031-0201
2015 公立はこだて未来大学 推薦
配点35点
易□ 並□ 難□
【1】 x ,y は実数とする.命題「 x2-2 ⁢y2 +x⁢ y≠0 ならば x ≠y である」について,以下の問いに答えよ.
問1 命題の逆,裏,対偶をそれぞれ述べよ.
問2 命題が真であることを証明せよ.
問3 命題の裏は偽である.反例を 1 つあげよ.
2015-11031-0202
配点40点
【2】 f⁡( x)= |x2 -7⁢ x+10 | とおく.以下の問いに答えよ.
問1 関数 y =f⁡( x) のグラフを座標平面に描け.
問2 関数 y =f⁡( x) のグラフと直線 y =k⁢x が,相異なる 3 つの共有点をもつとき,定数 k の値を求めよ.
2015-11031-0203
【3】 f0 ⁡(x )= x2+2 ⁢x とおく.このとき
fn+ 1⁡ (x )= fn⁡ (3⁢ x)- 2⁢f n⁡( x) ( n=0 ,1 , 2 ,⋯ )
で定められる関数 f1⁡ (x ), f2 ⁡(x ), f3 ⁡( x) ,⋯ について,以下の問いに答えよ.
問1 f1 ⁡(x ) と f2⁡ (x ) を求めよ.
問2 fn ⁡(x ) を推測して,その結果を数学的帰納法で証明せよ.
問3 曲線 y =fn ⁡(x ) と x 軸で囲まれた図形の面積 S n を求めよ.また, SnS 1≦ 1 710 となるような n の最小値を求めよ.
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【4】 a を 2 以上の定数とする. 0≦θ ≦π のとき,座標平面上の 2 点 A ( 1,0 ), B (cos ⁡θ, a⁢sin ⁡θ ) について,以下の問いに答えよ.
問1 線分 AB の長さを a と cos⁡ θ を用いて表せ.
問2 線分 AB の長さの最大値を a を用いて表せ.また,そのときの cos ⁡θ の値を a を用いて表せ.