2015　関西大　文系学部2月1日実施MathJax

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$x=\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta$がとりうる範囲を求めよ．

(2)　$x=\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$において，$x^2-4x+3>0$となるときの$\theta$の範囲を求めよ．

(1)　円$C_1$に内接する正三角形を考え，その正三角形に内接する円を$C_2$とする．さらに，円$C_2$に内接する正三角形を考え，その正三角形に内接する円を$C_3$とする．$C_1$と$C_2$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$と表す．このとき，$S_1=\boxed{\text{①}}\text{，}{S}_2=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　(1)の操作を繰り返し，円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$を定める．$C_n$の半径を$r_n$とするとき，$r_n$を$r_{n-1}$を用いて表すと，$r_n=\boxed{\text{③}}$となる．

(3)　$n=3\text{，}4\text{，}\cdots$について，円$C_n$の面積を$S_n$と表す．$S_1\text{，}{S}_2\text{，}\cdots \text{，}{S}_n$は公比$\boxed{\text{④}}$の等比数列であることがわかるから，

$S_1+S_2+\cdots +S_n=\boxed{\text{⑤}}$

となる．

　$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角は$\boxed{\text{①}}\mathrm{°}$だから，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\boxed{\text{②}}$となる．$C$上に点$\mathrm{R}$を，適当な実数$a$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=a\overrightarrow{p}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\overrightarrow{q}$を満たすようにとる．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=1$より，$a=\boxed{\text{③}}$となる．よって，

$\mathrm{PR}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{QR}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{④}}}+\sqrt{2}}{2}}$

である．また，$▵\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{⑤}}$となる．