2016　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$\boxed{\text{(a)}}$個である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　不等式${\log }_4(7x+1)<{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2(2x+9)$を解くと$\boxed{\text{(b)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4{\sin }^3\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta +1$の最大値$M\text{，}$最小値$m$を求めると$(M,m)=\boxed{\text{(c)}}$である．

【２】　各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さを求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　${\displaystyle \frac{5561}{6059}}$をこれ以上焼く分できない分数に直すと$\boxed{\text{(ア)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n)$

このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^5}{a}_k$を求めると$\boxed{\text{(イ)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．

・出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．

・出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．

・出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点に戻す．

さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$\boxed{\text{(ウ)}}$．

【４】　曲線$y=-x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}$上の点$\mathrm{P}(x,y)\text{（}y\geqq 0\text{）}$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M\text{，}$最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　$2$曲線$y=e^x-1\text{，}y=e^{-x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．