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2016-13331-0501
2016 学習院大学 数学科特別入試
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 表の出る確率が p , 裏の出る確率が 1 -p であるコインがある.
(1) このコインを 5 回繰り返して投げるとき,表がちょうど 3 回出る確率を p を用いて表せ.
(2) このコインを 4 回繰り返して投げるとき,表が出る回数を X とする. X=0 または X =3 である確率を s とし, X=2 である確率を t とするとき, s<t となるような p の値の範囲を求めよ.
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【2】 複素数平面上で,
2⁢ |z -2| =z+ z‾≦ 4
を満たす点 z の全体の表す領域を D とする.
(1) 領域 D を図示せよ.
(2) 領域 D の面積を求めよ.
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【3】 a ,t を実数とし,それぞれ a >0 ,0 <t< π 2 を満たすとする. x に関する 2 つの 2 次方程式
(1) x2 +(1 -sin⁡t )⁢x -a=0
(2) x2 -(4 +cos⁡2 ⁢t) ⁢x+3 ⁢a+1 =0
を考える.方程式(1)の 2 つの解を α , β とすると, 2⁢α 2 ,2 ⁢β2 はともに方程式(2)の解であるという.このとき, a ,t の値の組を求めよ.
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(1),(2)で配点25点
【4】 以下の問いに答えよ.
(1) 定積分
∫ 01 x -1 (x- 2) 2⁢ d x
を計算せよ.
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(2) 関数 y =x⁢e -x2 2 の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.