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2016-14991-1001
2016 関西大学 全学部日程・センター中期
社会安全・システム理工・環境都市工
・化学生命工学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面上に楕円 C : x29 +y 2=1 がある. y 軸上の点 P ( 0,t) ( t>0 ) を通り, C と第 1 象限で接する接線を l とする. l と C の接点を R とし, l と x 軸の交点を Q とする.次の問いに答えよ.
(1) l の方程式を求めよ.また,点 R および Q の座標を求めよ.
(2) 点 P が t >1 の範囲で動くとき,線分 PQ の長さの最小値,およびそのときの t の値を求めよ.
(3) 前問(2)において線分 PQ の長さが最小になるとき, x 軸と線分 RQ と楕円 C で囲まれた領域の面積を求めよ.
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【2】 各辺の長さが 1 の正四面体 OABC の辺 BC の中点を D とする.また,辺 OA 上に OP =t ( 0<t≦ 1 ) となる動点 P をとる.さらに,線分 PD を n +1 等分する分点の列を P より近い順に並べて M1 , M 2 , ⋯ , M n と表す.このとき,次の をうめよ.
BD=DC = 12 であるから, OD= ① である.三角形 OAD において OD =DA であるから,辺 OA と線分 OD のなす角を θ とすれば cos ⁡θ= ② となる. k=1 , 2 , ⋯ , n に対して,ベクトル OM k→ を t , n , k とベクトル OA→ , OD→ を用いて表すと
O Mk → = ③ ⁢ OA →+ k n+1 ⁢ OD→
である.また, OA→ ⋅OD →= ④ であるから, | O Mk → |2 は, t , n , k を用いて
| O Mk → |2 =t2 + kn+1 ⁢ ( ⑤ )+ k2 ( n+1) 2 ⁢( ⑥ )
と表される.ここで, ⑤ と ⑥ は t の式である.したがって
limn →∞ 1n ⁢ ∑k =1n | O Mk → |2 = ⑦
である. 0<t ≦1 の範囲で t が動くとき, ⑦ のとりうる値の範囲は ⑧ < ⑦ ≦ ⑨ である.
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【3】 実数の定数 a , b が 0 <b<a 2 ,0 <a を満たすものとし,
f⁡( x)= b⁢x 2+1 -a⁢x
とおくとき,次の問いに答えよ.ただし,(2)〜(4)の解答は記述欄に記入すること.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) は f ′⁡( x)= ① -a であり,第 2 次導関数 f ″⁡( x) は f ″⁡( x)= ② (b⁢ x2+ 1)⁢ b⁢x 2+1 である. をうめよ.
(2) limx →∞ f⁡( x)= -∞ を示せ.
(3) -∞< x<∞ に対して f ′⁡( x)< 0 となることを示せ.
(4) 上で与えられた実数 a , b が a2-1 =b の関係を満たすとき,曲線 y =f⁡( x) と x 軸と y 軸で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積 V を a を用いて表せ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) a ,b を実数の定数とする. 3 次方程式 x3+a ⁢x2 +b⁢x +2⁢a =0 が 2 重解 1 をもつとき,もう 1 つの解は ① である.
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(2) a1 =1 ,a n+1 =2⁢ an+ n +2n ⁢( n+1) ( n=1 ,2 ,3 , ⋯ ) によって定められる数列 { an } の一般項は an= ② である.
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(3) 整数 x , y が 5 ⁢x+7 ⁢y=1 , x+y ≦100 を満たす範囲で動くとき, 2⁢x+ y の最大値は ③ である.
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(4) xy 平面上の点 A ( 0,2 ), B ( 67 , 107 ) をとるとき,線分 AB を 7 :n に外分する点の位置ベクトルが点 A の位置ベクトルと直交するのは n = ④ のときである.
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(5) 虚数 α = 3+i 2 に対して αn+ 1 αn =-2 が成り立つような自然数 n で 1 ≦n≦ 100 を満たすものは,全部で ⑤ 個ある.ここで i は虚数単位である.
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(6) a>0 とする. xy 平面内の曲線 C :( x⁡( t), y⁡( t) )= (2⁢ t,et +e -t ) ( 0≦t≦ a ) の長さ l ⁡(a ) は a を用いて l ⁡(a )= ⑥ と表され, l⁡( a)= 3 2 となるのは a = ⑦ のときである.