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2017-10161-0301
2017 茨城大学 推薦理(数学科)学部小論文
数学・情報数理コース
易□ 並□ 難□
【1】 i を虚数単位, θ を 0 ≦θ< 2⁢π を満たす実数とし, z=cos⁡ θ+i⁢ sin⁡θ とする.以下の各問に答えよ.
(1) z2 と 1z を極形式で表せ.
(2) z+ 1z= 0 を満たす θ の値をすべて求めよ.
(3) z2 +1 z2 =0 を満たす θ の値をすべて求めよ.
2017-10161-0302
【2】 2 つの関数 f ⁡(x ) と g ⁡(x ) をそれぞれ
f⁡( x)= 1- ∫0x 12⁢ t⁢( 1-t) ⁢dt , g⁡( x)= ∫ 0xf ⁡(t )⁢d t
で定める.以下の各問に答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) と第 2 次導関数 f ″⁡( x) を求めよ.
(2) 0≦x ≦1 の範囲で,関数 y =f⁡( x) の増減,最大最小,およびグラフの凹凸,変曲点を調べ,グラフの概形をかけ.
(3) 0≦x ≦1 の範囲で,関数 | g⁡( x) | の最大値を求めよ.
2017-10161-0303
【3】 1 ,2 , 3 , 4 の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが入っている箱の中から無作為にカードを 1 枚取り出し,その数字を調べてからもとに戻す.これを 2 回くり返し,出た数字を順に a , b とする.座標空間内の 4 点 O ( 0,0, 0) ,A ( a,0, 0) ,B ( 0,2⁢ b,0 ) および C ( 0,0, 1) を考え,四面体 OABC の体積を V , 三角形 ABC の面積を S とする.以下の各問に答えよ.
(1) V が整数となる確率を求めよ.
(2) 直線 AB 上の点 P に対して, OP→ を実数 t を用いて OP→ =(1 -t) ⁢OA→ +t⁢ OB→ と表す. CP→ と AB → が直交するとき, t を a と b を用いて表せ.
(3) S を a と b を用いて表せ.
(4) S が整数となる確率を求めよ.