2017　一橋大学　後期MathJax

【１】　実数$x\text{，}y\text{，}k$は$x^2+y^2=3x+4y=kx-4$を満たす．$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{1+a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次のことを示せ．

(1)　$n$が偶数のとき$1<a_{n+2}<a_n$

(2)　$n$が奇数のとき$a_n<a_{n+2}<1$

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人が次のゲームを行う．

(1)　$2$点先取した方が勝ちというルールのとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　$12$点先取した方が勝ちというルールのとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

【４】　$m\text{，}n$を$1$以上$10$以下の整数とする．$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,4)\text{，}\mathrm{B}(m,n)$は同一直線上にないとする．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を最小にする$\mathrm{B}(m,n)$を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{AOB}$を最小にする$\mathrm{B}(m,n)$を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　実数$r$は$0<r<1$を満たす．$x>0$のとき，$x^r-1$と$r(x-1)$の大小を比較せよ．

(2)　実数$p\text{，}q$は$p>1\text{，}q>1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=1$を満たす．$a>0\text{，}b>0$のとき，$a^{\frac{1}{p}}{b}^{\frac{1}{q}}$と${\displaystyle \frac{a}{p}}+{\displaystyle \frac{b}{q}}$の大小を比較せよ．

【６】　$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(\cos \theta ,\cos 2\theta ,\cos 3\theta )\text{，}$$\mathrm{B}(\sin \theta ,\sin 2\theta ,\sin 3\theta )\text{，}$$\mathrm{C}(\sin \theta ,-\sin 2\theta ,\sin \theta )$がある．

(1)　$\angle \mathrm{AOC}$と$\angle \mathrm{BOC}$は，$\theta$によらず一定であることを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．