2017　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面において，楕円

$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{(y-1)}^2=1$

を考える．$a$を定数とする．

(1)　直線$y=x-a$と$E$がただ$1$つの共有点を持つような$a$の値を求めよ．

(2)　関数$y=|x-a|$のグラフと$E$が$4$つの共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．

(3)　関数$y=\left|\right|x-a|-1|$のグラフと$E$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．

【２】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標を$(f(t),g(t))$と表し，点${\mathrm{P}}_t$を座標が$(f(t),g(t))$である点とする．ただし$f(t)\text{，}g(t)$は微分可能で，導関数$f^{\prime }(t)\text{，}{g}^{\prime }(t)$について${\{f^{\prime }(t)\}}^2+{\{g^{\prime }(t)\}}^2>0$とする．点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度$\overrightarrow{v}=(f^{\prime }(t),g^{\prime }(t))$を考える．$a\text{，}b$を正の定数（$a<b$）とする．

(1)　点${\mathrm{P}}_a$の座標を$(0,0)$として，$\overrightarrow{v}$が時刻$t$によらずに$(1,0)$に等しいとき，点${\mathrm{P}}_b$の座標$(f(b),g(b))$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$f(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\text{，}g(t)={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$のとき，$\overrightarrow{v}$が$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_a{\mathrm{P}}_b}$と平行になる時刻$t$（$a<t<b$）を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　${\mathrm{P}}_a\ne {\mathrm{P}}_b$のとき，ある時刻$t$（$a<t<b$）で$\overrightarrow{v}$が$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_a{\mathrm{P}}_b}$と平行になることを示せ．

【３】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=5$である$▵\mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{C}=\theta$とする．次を示せ．

(1)　$30\mathrm{°}<\theta$

(2)　$\theta <40\mathrm{°}$

(3)　$36\mathrm{°}<\theta$

(4)　$n\theta =30\mathrm{°}+m\times 360\mathrm{°}$となる整数$n\text{，}m$は存在しない．

【４】　さいころを$n$回投げるとき，$1$の目が続けて$m$回以上出る確率を$P(n,m)$とする．さいころを$n+1$回投げるとき，同じ目が続けて$m+1$回以上出る確率を$Q(n,m)$とする．

(1)　$P(3,2)$と$Q(3,2)$を求めよ．

(2)　$P(n,1)$を$n$を用いて表せ．

(3)　$P(n+2,2)$を$P(n+1,2)$と$P(n,2)$を用いて表せ．

(4)　$P(n,m)$と$Q(n,m)$の大小を比較せよ．