2017　和歌山大学　前期MathJax

(1)　$3$次方程式$x^3+3x-4=0$の解を複素数の範囲で，すべて求めよ．

(2)　${\alpha }^3+3\alpha$は整数であることを示せ．

(3)　$\alpha$は整数であることを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=-2a_n+2^{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　初項$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$で定めるとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　$S_1$と$S_2$を$\sin \theta$と$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　$S_1=2S_2$であるとき，線分$\mathrm{OQ}$の長さと線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．

$f(-1)=1\text{，}f(1)=5\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=8$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=0$で極値をとるとき，$f(x)$の極小値を求めよ．

(1)　点$p+qi$を原点のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転させた点を$s+ti$とするとき，$p$と$q$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，$p\text{，}q\text{，}s\text{，}t$は実数とする．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$の値を求めよ．

(3)　曲線$C_0$上の点で，原点からの距離が最大となる点をすべて求めよ．

$x=\theta -\sin \theta \text{，}y=1-\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

で表される曲線$C$がある．直線$y=1$と曲線$C$との交点のうち，$x$座標が大きい方を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{P}$までの曲線$C$の部分の長さ$L$を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$\mathrm{OP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．