2017　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の第$1$次導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，曲線$y=f(x)$の漸近線もかくこと．

(3)　$a>1$とする．$2$つの直線$y=0\text{，}y=a-{\displaystyle \frac{1}{a}}$と曲線$y=f(x)$でかこまれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　$\underset{a\to 1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a-1}}$を求めよ．

　$xy$平面の$x$軸上に点$(a_0,0)$がある．ただし$0<a_0<1$とする．原点$\mathrm{O}(0,0)$と$(a_0,0)$を$2:1$に内分する点と点$(1,0)$との中点を${\mathrm{P}}_1(a_1,0)$とする．次に原点と${\mathrm{P}}_1(a_1,0)$を$2:1$に内分する点と$(1,0)$との中点を${\mathrm{P}}_2(a_2,0)$とする．さらに同様の操作を続けて点${\mathrm{P}}_{n-1}(a_{n-1},0)$を定める．

　$a_1$を$a_0$で表すと$\boxed{\text{①}}$である．同様に，原点と点${\mathrm{P}}_{n-1}(a_{n-1},0)$を$2:1$に内分する点と点$(1,0)$との中点を${\mathrm{P}}_n(a_n,0)$とする．このとき$a_n$と$a_{n-1}$は，次の漸化式

$a_n=\boxed{\text{②}}{a}_{n-1}+\boxed{\text{③}}$

を満たす．ここで$\boxed{\text{②}}\text{，}\boxed{\text{③}}$は$n$に無関係な数である．この漸化式より$a_n$を$a_1$と$n$で表すと，$a_n=\boxed{\text{④}}$である．

　$a_0=\boxed{\text{⑤}}$のときは，${\mathrm{P}}_n$は$n$に無関係な定点である．$a_0\ne \boxed{\text{⑤}}$のとき，$n$を大きくしていくと，${\mathrm{P}}_n$は点$\mathrm{Q}(\boxed{\text{⑥}},0)$に限りなく近く．また

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\mathrm{P}}_n\mathrm{Q}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

となるのは$a_0=\boxed{\text{⑦}}$のときである．

(1)　$z^n$と$w=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1)$のそれぞれの値を求めよ．

(2)　等式${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}{a_n}}$を満たす実数$a_n$を$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$を用いて表せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{a}_n$を求めよ．