2017　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がある．四面体$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さが$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=2$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}$の値を$r$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{N}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{MN}}$であることを示せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$は直線$\mathrm{MN}$上にあることを示せ．

(4)　$r$の値を求めよ．

【２】　次の関係式

$|2{\sin }^3\theta +3{\cos }^2\theta -2|-k=0\cdots$(＊)

を考える．ここで，$0\leqq \theta <2\pi$であり，$k$は実数である．

　次の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )=|2{\sin }^3\theta +3{\cos }^2\theta -2|$とおく．$x=\sin \theta$とおいたとき，$f(\theta )$を$x$を用いて表した式$g(x)$を求め，曲線$C\text{：}y=g(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　曲線$C$と直線$y=k$が$2$つ以上の異なる点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$k$を(2)の範囲の最小値とするとき，(＊)を満たす$\theta$の値を求めよ．

【３】　正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，$b_n={\log }_2{a}_n$とおき，$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$とおく．ここで，$T_n$は

$T_n={\displaystyle \frac{{(n+1)}^2}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．次の$\boxed{}$をうめよ．

　ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}5=0.6990$とする．

(1)　$a_1=\boxed{\text{①}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{②}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$n$を用いて表せば，$a_n=\boxed{\text{④}}$となる．

(3)　$a_n\geqq 1000000$となる最小の自然数は$n=\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　箱の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．この箱の中から同時に$3$枚のカードを取り出し，ここに書かれている数字を小さい順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$Y=4$である確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$Z-X\geqq 7$である確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$Y=4$または$Z-X\geqq 7$である確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$X\text{，}Y\text{，}Z$が等差数列である確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$X\text{，}Y\text{，}Z$が等差数列または等比数列である確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．