2018　大学入試センター試験　本試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］(1)　$1$ラジアンとは，$\boxed{\text{ア}}$のことである．$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　半径が$1\text{，}$面積が$1$の扇形の中心角の大きさ

$\overline{)\text{1}}$　半径が$\pi \text{，}$面積が$1$の扇形の中心角の大きさ

$\overline{)\text{2}}$　半径が$1\text{，}$弧の長さが$1$の扇形の中心角の大きさ

$\overline{)\text{3}}$　半径が$\pi \text{，}$弧の長さが$1$の扇形の中心角の大きさ

(2)　$144\mathrm{°}$を弧度で表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi$ラジアンである．また，${\displaystyle \frac{23}{12}}\pi$ラジアンを度で表すと$\boxed{\text{エオカ}}\mathrm{°}$である．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で

$2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}})-2\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{30}})=1\cdots$$\text{①}$

を満たす$\theta$の値を求めよう．

　$x=\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$とおくと，$\text{①}$は

$2\sin x-2\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{キ}}}})=1$

と表せる．加法定理を用いると，この式は

$\sin x-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\cos x=1$

となる．さらに，三角関数の合成を用いると

$\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ケ}}}})={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}}}$

と変形できる．$x=\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$だから，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\pi$である．

【１】

［２］　$c$を正の定数として，不等式

$x^{{\log }_{3}x}\geqq {\left({\displaystyle \frac{x}{c}}\right)}^3\cdots \text{②}$

を考える．

　$3$を底とする$\text{②}$の両辺の対数をとり，$t={\log }_{3}x$とおくと

$t^{\boxed{\text{ソ}}}-\boxed{\text{タ}}t+\boxed{\text{タ}}{\log }_{3}c\geqq 0\cdots \text{③}$

となる．ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という．

　$c=\sqrt[3]{9}$のとき，$\text{②}$を満たす$x$の値の範囲を求めよう．$\text{③}$により

$t\leqq \boxed{\text{チ}}\text{，}t\geqq \boxed{\text{ツ}}$

である．さらに，真数の条件を考えて

$\boxed{\text{テ}}<x\leqq \boxed{\text{ト}}\text{，}$$x\geqq \boxed{\text{ナ}}$

となる．

　次に，$\text{②}$が$x>\boxed{\text{テ}}$の範囲でつねに成り立つような$c$の値の範囲を求めよう．

　$x$が$x>\boxed{\text{テ}}$の範囲を動くとき，$t$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ニ}}$である．$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　正の実数全体
• $\overline{)\text{1}}$　負の実数全体
• $\overline{)\text{2}}$　実数全体
• $\overline{)\text{3}}$　$1$以外の実数全体

　この範囲の$t$に対して，$\text{③}$がつねになりたつための必要十分条件は，${\log }_{3}c\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．すなわち，$c\geqq \sqrt[\boxed{\text{ノ}}]{\boxed{\text{ハヒ}}}$である．

【２】

［１］　$p>0$とする．座標平面上の放物線$y=p{x}^2+qx+r$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$l$とする．$C$は点$\mathrm{A}(1,1)$において$l$と接しているとする．

(1)　$q$と$r$を，$p$を用いて表そう．放物線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$l$の傾きは$\boxed{\text{ア}}$であることから，$q=\boxed{\text{イウ}}p+\boxed{\text{エ}}$がわかる．さらに，$C$は点$\mathrm{A}$を通ることから，$r=p-\boxed{\text{オ}}$となる．

(2)　$v>1$とする．放物線$C$と直線$l$および直線$x=v$で囲まれた図形の面積$S$は$S={\displaystyle \frac{p}{\boxed{\text{カ}}}}(v^3-\boxed{\text{キ}}{v}^2+\boxed{\text{ク}}v-\boxed{\text{ケ}})$である．また，$x$軸と$l$および$2$直線$x=1\text{，}$$x=v$で囲まれた図形の面積$T$は，$T=v^{\boxed{\text{コ}}}-v$である．

　$U=S-T$は$v=2$で極値をとるとする．このとき，$p=\boxed{\text{サ}}$であり，$v>1$の範囲で$U=0$となる$v$の値を$v_0$とすると，$v_0={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．$1<v<v_0$の範囲で$U$は$\boxed{\text{ソ}}\text{．}$$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　つねに増加する
• $\overline{)\text{1}}$　つねに減少する
• $\overline{)\text{2}}$　正の値のみをとる
• $\overline{)\text{3}}$　負の値のみをとる

$\overline{)\text{4}}$　正と負のどちらの値もとる

$p=\boxed{\text{サ}}$のとき，$v>1$における$U$の最小値は$\boxed{\text{タチ}}$である．

【２】

［２］　関数$f(x)$は$x\geqq 1$の範囲でつねに$f(x)\leqq 0$を満たすとする．$t>1$のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=1\text{，}$$x=t$で囲まれた図形の面積を$W$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$W$は，底辺の長さが$2t^2-2\text{，}$他の$2$辺の長さがそれぞれ$t^2+1$の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする．このとき，$x>1$における$f(x)$を求めよう．

　$F(x)$を$f(x)$の不定積分とする．一般に，$F^{\prime }(x)=\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$W=\boxed{\text{テ}}$が成り立つ．$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$\boxed{\text{テ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$-F(t)$
• $\overline{)\text{1}}$　$F(t)$
• $\overline{)\text{2}}$　$F(t)-F(1)$
• $\overline{)\text{3}}$　$F(t)+F(1)$
• $\overline{)\text{4}}$　$-F(t)+F(1)$
• $\overline{)\text{5}}$　$-F(t)-F(1)$
• $\overline{)\text{6}}$　$-f(x)$
• $\overline{)\text{7}}$　$f(x)$
• $\overline{)\text{8}}$　$f(x)-f(1)$

したがって，$t>1$において

$f(t)=\boxed{\text{トナ}}{t}^{\boxed{\text{ニ}}}+\boxed{\text{ヌ}}$

である．よって，$x>1$における$f(x)$がわかる．

【３】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,1)$を通る直線を$l_1$とする．また，方程式$x^2+y^2+6x-12y+36=0$が表す円を$C_1$とする．

(1)　$l_1$の方程式は$x-\boxed{\text{ア}}y+\boxed{\text{イ}}=0$である．また，$C_1$の中心は$(\boxed{\text{ウエ}},\boxed{\text{オ}})$で，半径は$\boxed{\text{カ}}$である．

(2)　$C_1$上の点$\mathrm{P}(a,b)$に対して，三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$(s,t)$とおくと，$a=\boxed{\text{キ}}s-\boxed{\text{ク}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ケ}}t-\boxed{\text{コ}}$である．したがって，$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{G}$の軌跡は中心$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})\text{，}$半径$\boxed{\text{タ}}$の円となる．

(3)　(2)で求めた円を$C_2$とする．点$\mathrm{Q}$が$C_2$上を動き，点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と最大値を求めよう．

　$C_2$の中心を通り，直線$l_1$と垂直な直線$l_2$の方程式は

$\boxed{\text{チ}}x+\boxed{\text{ツ}}y-1=0$

である．$l_1$と$l_2$の交点は，線分$\mathrm{AB}$を$1:\boxed{\text{テ}}$に内分することがわかる．よって，$l_2$は線分$\mathrm{AB}$と交わるので，$\mathrm{QR}$の長さの最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}-\boxed{\text{タ}}$

である．

　$\mathrm{QR}$の長さが最大となるときの$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}})$である．したがって，最大値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}}+\boxed{\text{タ}}$

である．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$x$の整式$P(x)$を

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

とする．$3$次方程式$P(x)=0$は虚数$-1+\sqrt{6}i$を解にもつとする．

(1)　$3$次方程式$P(x)=0$の実数解を$a$を用いて表そう．

　$P(x)$の$x$に虚数$-1+\sqrt{6}i$を代入し，整理すると

$\begin{array}{ll}P(-1+\sqrt{6}i)=& \boxed{\text{アイ}}a-b+c+\boxed{\text{ウエ}}\\ & +(\boxed{\text{オカ}}a+b-\boxed{\text{キ}})\sqrt{6}i\end{array}$

となる．したがって，$b\text{，}$$c$を$a$を用いて表すと

$b=\boxed{\text{ク}}a+\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{コ}}a-\boxed{\text{サシ}}$

となる．

　二つの虚数$-1+\sqrt{6}i\text{，}$$-1-\sqrt{6}i$を解とする$2$次方程式で，$x^2$の係数が$1$のものは

$x^2+\boxed{\text{ス}}x+\boxed{\text{セ}}=0$

である．$P(x)$をこの方程式の左辺の整式で割ると，商は$x+a-\boxed{\text{ソ}}\text{，}$余りは$\boxed{\text{タ}}$である．よって，方程式$P(x)=0$の実数解は

$x=\boxed{\text{チ}}a+\boxed{\text{ツ}}$

と表せる．

(2)　$P(x)$を$x+a-3$で割ったときの余りが$6$のとき，$a=\boxed{\text{テ}}$である．このとき，$P(x)$を$2$次の整式$Q(x)$で割ったときの商は$x-1\text{，}$余りは$13x+17$とすると

$Q(x)=x^2+\boxed{\text{ト}}x+\boxed{\text{ナ}}$

である．

【３】　第$4$項が$30\text{，}$初項から第$8$項までの和が$288$である等差数列を$\{a_n\}$とし，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，第$2$項が$36\text{，}$初項から第$3$項までの和が$156$である等比数列で公比が$1$より大きいものを$\{b_n\}$とし，$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．

(1)　$\{a_n\}$の初項は$\boxed{\text{アイ}}\text{，}$公差は$\boxed{\text{ウエ}}$であり

$S_n=\boxed{\text{オ}}{n}^2-\boxed{\text{カキ}}n$

である．

(2)　$\{b_n\}$の初項は$\boxed{\text{クケ}}\text{，}$公比は$\boxed{\text{コ}}$であり

$T_n=\boxed{\text{サ}}({\boxed{\text{シ}}}^n-\boxed{\text{ス}})$

である．

(3)　数列$\{c_n\}$を次のように定義する．

たとえば

$c_1=a_1-b_1\text{，}$$c_2=2(a_1-b_1)+(a_2-b_2)$

$c_3=3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3)$

である．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよう．

　$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$とする．$d_n=c_{n+1}-c_n$であるから，$d_n=\boxed{\text{セ}}$を満たす．$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$S_n+T_n$
• $\overline{)\text{1}}$　$S_n-T_n$
• $\overline{)\text{2}}$　$-S_n+T_n$
• $\overline{)\text{3}}$　$-S_n-T_n$
• $\overline{)\text{4}}$　$S_{n+1}+T_{n+1}$
• $\overline{)\text{5}}$　$S_{n+1}-T_{n+1}$
• $\overline{)\text{6}}$　$-S_{n+1}+T_{n+1}$
• $\overline{)\text{7}}$　$-S_{n+1}-T_{n+1}$

　したがって，(1)と(2)により

$d_n=\boxed{\text{ソ}}{n}^2-2\cdot {\boxed{\text{タ}}}^{n+\boxed{\text{チ}}}$

である．$c_1=\boxed{\text{ツテト}}$であるから，$\{c_n\}$の一般項は

$c_n=\boxed{\text{ナ}}{n}^3-\boxed{\text{ニ}}{n}^2+n+\boxed{\text{ヌ}}-{\boxed{\text{タ}}}^{n+\boxed{\text{ネ}}}$

である．

【４】　$a$を$0<a<1$を満たす定数とする．三角形$\mathrm{ABC}$を考え，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{r}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{ア}}$であり

${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}+{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2\cdots \text{①}$

である．ただし，$\boxed{\text{ア}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}$
• $\overline{)\text{3}}$　$-\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{FD}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{FD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{q}\cdots \text{②}$

である．

(3)　$s\text{，}$$t$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{FD}}=s\overrightarrow{r}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{FE}}=t\overrightarrow{p}$となる実数とする．$s$と$t$を$a$を用いて表わそう．

　$\overrightarrow{\mathrm{FD}}=s\overrightarrow{r}$であるから，$\text{②}$により

$\overrightarrow{q}=\boxed{\text{キク}}\overrightarrow{p}+\boxed{\text{ケ}}s\overrightarrow{r}$$\cdots \text{③}$

である．また，$\overrightarrow{\mathrm{FE}}=t\overrightarrow{p}$であるから

$\overrightarrow{q}={\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}}}\overrightarrow{p}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}}}\overrightarrow{r}$$\cdots \text{④}$

である．$\text{③}$と$\text{④}$により

$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}(\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}})}}\text{，}$$t=\boxed{\text{タチ}}(\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}})$

である．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BE}}\right|$とする．$\left|\overrightarrow{p}\right|=1$のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$の内積を$a$を用いて表わそう．

　$\text{①}$により

${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2=1-\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}+{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2$

である．また

$\begin{array}{ll}{\left|\overrightarrow{\mathrm{BE}}\right|}^2=& \boxed{\text{ツ}}{(\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}})}^2\\ & +\boxed{\text{テ}}(\boxed{\text{コ}}-\boxed{\text{サ}})\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}+{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2\end{array}$

である．したがって

$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}-\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【５】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　$a$を正の整数とする．$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}\cdots \text{，}$$2a$の数字がそれぞれ一つずつ書かれた$a$枚のカードが箱に入っている．この箱から$1$枚のカードを無作為に取り出すとき，そこに書かれた数字を表す確率変数を$X$とする．このとき，$X=2a$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

　$a=5$とする．$X$の平均（期待値）は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}X$の分散は$\boxed{\text{エ}}$である．また，$s\text{，}$$t$は定数で$s>0$のとき，$sX+t$の平均が$20\text{，}$分散が$32$となるように$s\text{，}$$t$を定めると，$s=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{カ}}$である．このとき，$sX+t$が$20$以上である確率は$0.\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　(1)の箱のカードの枚数$a$は$3$以上とする．この箱から$3$枚のカードを同時に取り出し，それらのカードを横$1$列に並べる．この試行において，カードの数字が左から小さい順に並んでいる事象を$\mathrm{A}$とする．このとき，事象$\mathrm{A}$の起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

　この試行を$180$回繰り返すとき，事象$\mathrm{A}$が起こる回数を表す確率変数を$Y$とすると，$Y$の平均$m$は$\boxed{\text{コサ}}\text{，}Y$の分散${\sigma }^2$は$\boxed{\text{シス}}$である．ここで，事象$\mathrm{A}$が$18$回以上$36$回以下起こる確率の近似値を次のように求めよう．

　試行回数$180$は大きいことから，$Y$は近似的に平均$m=\boxed{\text{コサ}}\text{，}$標準偏差$\sigma =\sqrt{\boxed{\text{シス}}}$の正規分布に従うと考えられる．ここで，$Z={\displaystyle \frac{Y-m}{\sigma }}$とおくと，求める確率の近似値は次のようになる．

$P(18\leqq Y\leqq 36)$$=P(-\boxed{\text{セ}}.\boxed{\text{ソタ}}\leqq Z\leqq \boxed{\text{チ}}.\boxed{\text{ツテ}})$$=0.\boxed{\text{トナ}}$

(3)　ある都市での世論調査において，無作為に$400$人の有権者を選び，ある政策に対する賛否を調べたところ，$320$人が賛成であった．この都市の有権者全体のうち，この政策の賛成者の母比率$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めたい．

　この調査での賛成者の比率（以下，これを標本比率という）は$0.\boxed{\text{ニ}}$である．標本の大きさが$400$と大きいので，二項分布の正規分布による近似を用いると，$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は

$0.\boxed{\text{ヌネ}}\leqq p\leqq 0.\boxed{\text{ノハ}}$

である．

　母比率$p$に対する信頼区間$A\leqq p\leqq B$において，$B-A$をこの信頼区間の幅とよぶ．以下，$R$を標本比率とし，$p$ぬ対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を考える．

　上で求めた信頼区間の幅を$L_1$

　標本の大きさが$400$の場合に$R=0.6$が得られたときの信頼区間の幅を$L_2$

　標本の大きさが$500$の場合に$R=0.8$が得られたときの信頼区間の幅を$L_3$

とする．このとき，$L_1\text{，}{L}_2\text{，}{L}_3$について$\boxed{\text{ヒ}}$が成り立つ．$\boxed{\text{ヒ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$L_1<L_2<L_3$
• $\overline{)\text{1}}$　$L_1<L_3<L_2$
• $\overline{)\text{2}}$　$L_2<L_1<L_3$
• $\overline{)\text{3}}$　$L_2<L_3<L_1$
• $\overline{)\text{4}}$　$L_3<L_1<L_2$
• $\overline{)\text{5}}$　$L_3<L_2<L_1$