2018　千葉大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とし，$f(x)=2x^2-4ax+3a^2-4a+1$とする．

(1)　$x$に関する$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$のどんな値に対しても$f(2+\sqrt{5})>0$であることを示せ．

【２】　右図のような$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$に対して，対角線$\mathrm{AG}$と$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{O}$とする．線分$\mathrm{AO}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{DO}$上の点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{OQ}=2\mathrm{AP}-1$を満たしながら動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．ただし点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は点$\mathrm{O}$とは一致しないものとする．

【３】　$n^{2018}+2$が$6$の倍数となるような，$n\geqq 2017$を満たす自然数$n$のうち，$3$番目に小さいものを求めよ．

【４】　箱の中に$n$枚のカードが入っている．ただし$n\geqq 3$とする．そのうち$1$枚は金色，$1$枚は銀色，残りの$(n-2)$枚は白色である．この箱からカードを$1$枚取り出し，その色が金なら$50$点，銀なら$10$点，白なら$0$点と記録し，カードを箱に戻す．この操作を繰り返し，記録した点の合計が$k$回目にはじめてちょうど$100$点となる確率を$P(k)$とする．

(1)　確率$P(4)$を求めよ．

(2)　確率$P(6)$を求めよ．

(3)　確率$P(11)$を求めよ．

【５】　$a$を正の数とし，$t$は$0\leqq t<a$を満たす数とする．点$(t,{(t-a)}^2)$における曲線$y={(x-a)}^2$の接線と，$x$軸および$y$軸で囲まれた領域を$D(t)$とする．

(1)　領域$D(t)$の表す図形の面積を$a$および$t$を用いて表せ．

(2)　領域$D(t)$の表す図形の面積の最大値，およびそのときの$t$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　$s$は$0\leqq s\leqq t$を満たす数とする．領域$D(t)$と領域$D(s)$を合わせてできる領域$D(t)\cup D(s)$の表す図形の面積の最大値，およびそのときの$s$と$t$の値を$a$を用いて表せ．

【６】　初項が$1$で公差が$6$である等差数列$1\text{，}7\text{，}13\text{，}\cdots$の第$n$項を$a_n$とし，また初項が$3$で公差が$4$である等差数列$3\text{，}7\text{，}11\text{，}\cdots$の第$m$項を$b_m$とする．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_m\}$に共通に現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を$\{c_k\}$とし，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_m\}$の少なくとも$1$つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできる数列を$\{d_l\}$とする．したがって，$c_1=7$であり，また数列$\{d_l\}$のはじめの$5$項は$1\text{，}3\text{，}7\text{，}11\text{，}13$となる．

(1)　数列$\{c_k\}$の一般項を求めよ．

(2)　$d_{1000}$および$d_{1001}$の値を求めよ．

【７】　初項が$1$で公差が$6$である等差数列$1\text{，}7\text{，}13\text{，}\cdots$の第$n$項を$a_n$とし，また初項が$3$で公差が$4$である等差数列$3\text{，}7\text{，}11\text{，}\cdots$の第$m$項を$b_m$とする．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_m\}$に共通に現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を$\{c_k\}$とし，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_m\}$の少なくとも$1$つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできる数列を$\{d_l\}$とする．したがって，$c_1=7$であり，また数列$\{d_l\}$のはじめの$5$項は$1\text{，}3\text{，}7\text{，}11\text{，}13$となる．

(1)　数列$\{c_k\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{d_l\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{d_l\}$の初項から第$l$項までの和$S_l={\displaystyle \sum _{i=1}^l}{d}_i$を求めよ．

【８】　正方形$\mathrm{ABCD}$の辺を除く内部に，$\mathrm{PA}\perp \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$x\overrightarrow{\mathrm{PA}}+y\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}}$とするとき，$x\text{，}y$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が題意の条件を満たしながら動くとき，(1)で求めた$x\text{，}$$y$の和$x+y$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$がどのような点かを答えよ．

【９】　箱の中に$n$枚のカードが入っている．ただし$n\geqq 3$とする．そのうち$1$枚は金色，$1$枚は銀色，残りの$(n-2)$枚は白色である．この箱からカードを$1$枚取り出し，その色が金なら$50$点，銀なら$10$点，白なら$0$点と記録し，カードを箱に戻す．この操作を繰り返し，記録した点の合計が$k$回目にはじめてちょうど$100$点となる確率$P(k)$を求めよ．

【10】(1)　次の定積分を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t-x}\sin (t+x)dt$

(2)　(1)で求めた$x$の関数$f(x)$に対し，極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$を求めよ．

【11】　$n$を$3$以上の自然数として，$n$枚のカード$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_{n-1}\text{，}{C}_n$がある．初めにこれらのカードを下から$C_n\text{，}{C}_{n-1}\text{，}\cdots \text{，}{C}_2\text{，}{C}_1$の順番に積み上げておく．いちばん上にあるカードが$C_1$で，いちばん下が$C_n$である．積み上げられたカードに対して以下の試行を繰り返す．いちばん上にあるカードを取ってそれを残りのいずれかのカードの下に入れるか，またはいちばん上に戻す．どの位置におくかの確率はすべて等しいものとする．

　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots$について，$k$回の試行の後にカード$C_1$が上から数えて$l$番目にある確率を$P(k,l)\text{（}l=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$で表し，また$k$回の試行の後にカード$C_2$が上から数えて$l$番目にある確率を$Q(k,l)$で表す．例えば$P(1,l)$は$l$によらず${\displaystyle \frac{1}{n}}$に等しい．以下の問いに答えよ．

(1)　$P(2,l)$を求めよ．

(2)　$P(k,l)$を求めよ．

(3)　$Q(k,l)$を求めよ．

【12】　複素数$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$に対し，$\alpha =z+z^8$とおく．$f(x)$は整数係数の$3$次多項式で，$3$次の係数が$1$であり，かつ$f(\alpha )=0$となるものとする．ただし，すべての係数が整数である多項式を，整数係数の多項式という．

(1)　$f(x)$を求めよ．ただし，$f(x)$がただ$1$つに決まることは証明しなくてよい．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$の$\alpha$以外の$2$つの解を，$\alpha$の$2$次以下の，整数係数の多項式の形で表せ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部(小学，特別支援，幼稚園，中学(技術))　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　国際教養学部，文学部(行動科学コース)，法政経学部，園芸学部(食料資源経済学科)，

　先進科学プログラム(植物生命科学，人間科学)

　　【２】，【３】，【５】，【６】

教育学部(中学(数学))　，先進科学プログラム(化学)【２】，【３】，【４】，【５】， 【６】，【８】

数学I数学II数学III数学A数学B

理学部(物理，化学，生物，地球科学科)，工学部，薬学部，

園芸学部(園芸，応用生命化，緑地環境学科)，先進科学プログラム(物理，工学)

　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

医学部【７】，【８】，【10】，【11】，【12】

理学部（数学・情報数理学科）　【５】，【７】， 【８】，【10】，【11】，【12】