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2018-10270-0201
2018 お茶の水女子大学 前期理学部選択
理(数学科)学部-数学専門Ⓐ
理(物理学科・情報学科)学部-数学Ⓑ
易□ 並□ 難□
【1】 i を虚数単位とし,自然数 n に対して an= (1 +3⁢ i) n+ (1- 3⁢ i) n とおく.以下の問いに答えよ.
(1) an は整数となることを示せ.
(2) an が負となる n をすべて求めよ.
(3) |a n| が 2 の累乗となることを示せ.また,その指数を求めよ.
2018-10270-0202
【2】 正の定数 a と負でない整数 k に対して,
Ik ⁡( t)= ∫ 0t xk⁢ e-a ⁢x⁢ dx
とおく.ただし, k=0 のときは I0⁡ (t )= ∫ 0t e-a ⁢x ⁢dx と定める.以下の問いに答えよ.
(1) t→∞ のとき I0⁡ (t ) が収束することを示し, limt →∞ I0⁡ (t ) の値を a を用いて表せ.
(2) Ik+ 1⁡ (t ) を Ik⁡ (t ) と a , t ,k を用いて表せ.
(3) t→∞ のとき Ik⁡ (t ) が収束することを示し, limt →∞ Ik ⁡(t ) の値を a と k を用いて表せ.ただし, limt →∞ tk +1⁢ e-a ⁢t= 0 となることは用いてよい.
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数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【3】 関数 f⁡( x)= π⁢x⁢ cos⁡( π⁢x )-sin ⁡(π ⁢x) ,g ⁡(x )= sin⁡( π⁢x) x を考える.ただし, x の範囲は 0 <x≦2 とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡( x) の増減を調べ,グラフの概形を描け.
(2) f⁡( x)= 0 の解がただ一つ存在し,それが 43 <x < 32 の範囲にあることを示せ.
(3) n を整数とする.各 n について,直線 y =n と直線 y =g⁡ (x ) の共有点の個数を求めよ.