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【1】 以下の[Ⅰ],[Ⅱ]に答えよ.解答は結果のみを解答用紙の指定された欄に記入せよ.ただし,この問題に限り,その結果に至る過程や説明を書く必要はない.
(ⅰ) 定積分を求めよ.
【1】 以下の[Ⅰ],[Ⅱ]に答えよ.解答は結果のみを解答用紙の指定された欄に記入せよ.ただし,この問題に限り,その結果に至る過程や説明を書く必要はない.
(ⅱ) 極限値を求めよ.
【1】 以下の[Ⅰ],[Ⅱ]に答えよ.解答は結果のみを解答用紙の指定された欄に記入せよ.ただし,この問題に限り,その結果に至る過程や説明を書く必要はない.
(ⅲ) 座標平面上を運動する点の時刻における座標が
で表されるとき,点の時刻における速度の大きさを求めよ.ただし,は自然対数の底とする.
図1 |
図2 |
図3 |
【4】 半径の円(円周)をとする深さの円錐(側面)の容器を考え,円錐の頂点を縁の円の中心をとし,円上に点をとる(図1).この円錐の容器を軸が鉛直(水平面と垂直)となるように保ち,その中に水を満たしてから(図2),円錐の母線が鉛直となるまで静かに傾けて水をこぼす(図3).このとき以下の問いに答えよ.
(ⅰ) の余弦を求めよ.
(ⅱ) 上述のように円錐の容器を傾けたとき,水が容器内に残っているためのの条件と,そのときの頂点から測った水面の高さを求めよ.
ここで,傾けた円錐の容器に対して,空間の座標軸を,点が原点で,点が軸上の正の部分に,点が平面上のの部分にくるようにとる(図3).また,は(ⅱ)の条件を満たすものとする.
(ⅲ) 点の座標を求めよ.
(ⅳ) のとき,傾けた円錐の平面による切り口の曲線をとする.点が上にあるとき,ベクトルの内積を利用して,の満たす関係式を求めよ.
(ⅴ) 平面上でによって囲まれた部分の面積を求めよ.
(ⅵ) 容器に残っている水の体積を求めよ.