2018　一橋大学　後期MathJax

【１】　$a^4=b^2+2^c$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$で$a$が奇数であるものを求めよ．

【２】　$m$を実数とし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$3$次方程式$x^3+mx+\sqrt{2}=0$は異なる$3$つの実数解$2\sin \theta \text{，}-2\cos \theta \text{，}2\sin 3\theta$をもつ．$m$と$\theta$の値を求めよ．

【３】　平面上に中心を共有する半径$1$の円$C_1$と半径$6$の円$C_2$がある．$C_1$上の点$\mathrm{P}$と$C_2$上の$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を頂点とする三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

【４】　$N$を$2$以上の整数とする．$1\leqq a<b<c\leqq 2N$を満たし，$a\text{，}b\text{，}c$を$3$辺の長さとする三角形が存在するような整数の組$(a,b,c)$の個数を$S_N$とする．

(1)　$S_3$を求めよ．

(2)　$S_n$を$N$で表せ．

【５】　定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(\sin \pi x-ax-b)}^{2}dx$

を最小にする実数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【６】　$15$個の実数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_{15}$からなるデータがある．このデータの平気値を$\bar{x}\text{，}$標準偏差を$s$とする．

(1)　$|x_i-\bar{x}|>4s$を満たす$x_i$は存在しないことを証明せよ．

(2)　$|x_i-\bar{x}|>2s$を満たす$x_i$の個数は$3$以下であることを証明せよ．