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2018-10471-0101
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2018 浜松医科大学 前期
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 n に対して In= ∫ 1 cosn ⁡x ⁢ dx とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 不定積分 I 2 を求めよ.
(2) 不定積分 I 4 を求めよ.
(3) 不定積分 I 3 を求めよ.
2018-10471-0102
【2】 自然数 k , n が k ≦n を満たすとき,以下の問いに答えよ.
(1) 不等式
( n k) k≦ Ck n
を証明せよ.
(2) すべての実数 t に対して, 1+t ≦et を証明せよ.
(3) 0 以上のすべての実数 t に対して,
Ck n ⁢tk ≦e n⁢t
(4) 不等式
Ck n ≦( e ⁢nk ) k
(5) n=10 23 ,k= 102 のとき, Ck n の桁数の下 2 桁を切り捨てた値を求めよ.
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【3】 ▵ABC の各頂点 A ,B , C の対辺の長さをそれぞれ a , b ,c , 重心を G , 内心を I とする.以下の問いに答えよ.
(1)
IG→ =( 1 3- b a+b+ c ) ⁢AB→ +( 13 - ca+b +c )⁢ AC→
(2) IG→ =0→ は, ▵ABC が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ.
(3) ▵ABC が正三角形でないとき,次の条件 p , q は同値であることを証明せよ.
p :順番を適当に入れ替えれば, a ,b , c は等差数列をなす.
q :線分 IG と平行な辺が存在する.
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【4】 定数 a , b ,c を用いて,数列 { Sn } を
Sn =an +bn +cn ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
により定める.
(1) 恒等式
(x- a)⁢ (x- b)⁢ (x- c) =x3 -( a+b+c )⁢x 2+( a⁢b+ b⁢c+c ⁢a) ⁢x-a ⁢b⁢c
を用いて Sn+3 ,S n+2 , Sn +1 ,Sn が満たす漸化式を求めよ.
(2) a+b+ c=0 ,a⁢ b⁢c≠ 0 のとき,
S2⁢ S3 S5 , ( S2 )2 ⁢S3 S7 , S2 ⁢S5 S7
のそれぞれの値を求めよ.
(3) (2)で求めた 3 つの値に共通してあてはまる規則を 1 つ挙げよ.