2018　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　関数$r=3+\cos \theta$と，その導関数$r^{\prime }$および第$2$次導関数$r^{″}$に対して，

$f(\theta )={\displaystyle \frac{{(r^2+{(r^{\prime })}^2)}^{\frac{3}{2}}}{r^2+2{(r^{\prime })}^2-r{r}^{″}}}$

とおく．

(1)　$f(0)$および$f(\pi )$を求めよ．

(2)　$f(\theta )$は$\theta =0$および$\theta =\pi$で極大値をとることを示せ．

(3)　$f(\theta )$の最小値を求めよ．

【２】　複素数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$を

$a_1={\displaystyle \frac{3+i}{3-i}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n-5}{1-5a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．また，

$b_n={\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n-1}}i\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　$b_n$は実数であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n+1|$を求めよ．

(4)　複素数平面上において，すべての点$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は同一円周上にあることを示せ．

【３】(1)　$t$を媒介変数として，

$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}}\text{（}-1<t<1\text{）}$

で表される曲線の概形をかけ．

(2)　$-1<t<1$とする．実数$f(t)$が

${\displaystyle \frac{e^{f(t)}-e^{-f(t)}}{2}}={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}}$

を満たすとき，$f(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)の$f(t)$について，$t_1\text{，}{t}_2\text{，}{t}_3$が

$f(t_1)+f(t_2)=f(t_3)$

を満たすとき，$t_3$を$t_1\text{，}{t}_2$を用いて表せ．

【４】　一辺の長さが$1\mathrm{m}$の正四面体の辺上に$4$匹のアリがいる．時刻$0$分において，アリは別々の頂点にいる．各自然数$t$に対して，時刻$(t-1)$分から$t$分までの$1$分間に，アリは頂点から他の頂点へ分速$1\mathrm{m}$で進むか，同じ頂点にとどまるかのどちらかである．そしてアリが他のいずれの頂点へ進む確率も，同じ頂点にとどまる確率も，等しく${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．以下，$n$を自然数とする．

(1)　時刻$n$分のとき，$4$匹のアリが同じ頂点に居合わせる確率を求めよ．

(2)　時刻$0$分から$n$分までの間に，どのアリも他のアリと頂点で出会わない確率を求めよ．

(3)　時刻$0$分から$n$分までの間に，どのアリも他のアリと頂点でも辺の中点でも出会わない確率を求めよ．