2018　奈良教育大学　前期MathJax

2018-10621-0101

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2018　奈良教育大学　前期

教科-数学

易□　並□　難□

【１】　次の関数 $f (x)$ について，以下の問に答えよ．ただし， $a$ は $1 < a < 2$ を満たす定数とする．

$f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x$

(1)　 $f (x)$ の導関数を求め，それを因数分解せよ．

(2)　 $f (2)$ を求めよ．

(3)　 $0 ≦ x ≦ 2$ における， $f (x)$ の最大値を求めよ．

(4)　 $0 ≦ x ≦ 2$ における， $f (x)$ の最小値を求めよ．

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教科-数学

易□　並□　難□

【２】　次の $2$ つの条件(Ⅰ)，(Ⅱ)を満たす円の方程式を求めよ．

(Ⅰ)　中心の座標が $(4, - 3)$ である．

(Ⅱ)　円 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 = 0$ と接する．

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易□　並□　難□

【３】　初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が

$S_{n} = \frac{3 n^{2} - 35 n - 38}{2}$

となる数列を ${a_{n}}$ とする．さらに，

$b_{1} = - 23 ， b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定められる数列を ${b_{n}}$ とする．次の問に答えなさい．

(1)　 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　底面の半径が $r ，$ 高さが $h$ である円錐の体積 $V$ は $\frac{1}{3} π r^{2} h$ となることを，積分を用いて証明せよ．

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易□　並□　難□

【５】　 $n$ は $2$ 以上の自然数とする． $2$ つの変数 $x ， y$ のデータが， $n$ 個の $x ， y$ の値の組として，次のように与えられているとする． $(x_{1}, y_{1}) ， (x_{2}, y_{2}) ， \dots ， (x_{n}, y_{n}) ．$ ここで， $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ と $y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{n}$ の平均値をそれぞれ $\overline{x} ， \overline{y} ，$ 標準偏差をそれぞれ $s_{x} ， s_{y}$ とする．また， $x ， y$ の相関係数を $r$ とする．これら $n$ 組に $2$ 組のデータ $(x_{n + 1}, y_{n + 1}) ， (x_{n + 2}, y_{n + 2})$ を加えたときの相関係数を $r^{+}$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a$ を正の定数とする． $x_{n + 1} = \overline{x} - a ， x_{n + 2} = \overline{x} + a$ のとき， $n + 2$ 個のデータ $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n} ， x_{n + 1} ， x_{n + 2}$ の標準偏差を求めよ．

(2)　 $(x_{n + 1}, y_{n + 1}) = (\overline{x} - s_{x}, \overline{y} - s_{y}) ， (x_{n + 2}, y_{n + 2}) = (\overline{x} + s_{x}, \overline{y} + s_{y})$ のとき， $r$ の絶対値 $| r |$ と $r^{+}$ の絶対値 $| r^{+} |$ の大小関係を示せ．