2018　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$2$つの関数$f(x)=x^2-4x+7\text{，}g(x)=-x^2-2x+a$の定義域が$-3\leqq x\leqq 3$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　定義域のすべての$x$で$f(x)>g(x)$となる定数$a$の値の範囲を求めなさい．

(2)　定義域のすべての$x$で$f(x)\leqq g(x)$となる定数$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を整数とします．$a\ne 0$のとき，$x$についての$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$について，次の問いに答えなさい．

(1)　この方程式が重解をもち，かつ$b$が偶数ならば，$ac$はある整数を$2$乗した数であることを示しなさい．

(2)　この方程式が有理数の解をもつならば，$a\text{，}b\text{，}c$のうち，少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，

$\angle \mathrm{BOC}=120\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}$

とします．

(1)　$\angle \mathrm{B}<\angle \mathrm{A}<\angle \mathrm{C}$となることを示しなさい．

(2)　$▵\mathrm{OAB}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とします．このとき，$S_1<S_2<S_3$となることを示しなさい．

【４】　鉛筆$4$本を箱に入れた$4$本セットと，鉛筆$7$本を箱に入れた$7$本セットを売ることにしました．

(1)　$4$本セットが$x$個と$7$本セットが$y$個でちょうど$90$本になるような組み合わせ$(x,y)$をすべて求めなさい．

(2)　$n$を$18$以上の整数とします．$4$本セットと$7$本セットを適当に組み合わせて，鉛筆の数がちょうど$n$本にできることを示しなさい．ただし，$4$本セットと$7$本セットのどちらか一方のみを使う場合もあるとします．

【５】　赤いボールが$3$個，青いボールが$2$個，白いボールが$2$個あります．色が異なるボールは区別できるが，色が同じボールは区別できないものとします．これら$7$個のボールについて，次の問いに答えなさい．

(1)　$7$個のボールを$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか求めなさい．

(2)　$7$個のボールから$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか求めなさい．

(3)　$7$個のボールを箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$に分けて入れる方法は何通りあるか求めなさい．ただし，どちらの箱にも少なくとも$1$個のボールが入るものとします．