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2018-11031-0101
2018 公立はこだて未来大学 前期
必須問題
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 y=2 x+2 -x とおく.以下の問いに答えよ.
問1 y の最小値と,そのときの x の値を求めよ.
問2 y3 -6⁢ y2+11 ⁢y-6 =0 をみたす正の x の値を求めよ.
2018-11031-0102
【2】 a を正の定数とするとき,以下の問いに答えよ.
問1 不等式 ⁢ x(x 2-4 ⁢a )<0 を解け.
問2 関数 y =|x ⁢( x2-4 ⁢a) | のグラフをかけ.
問3 関数 g ⁡(x ) が g ⁡(x )= x3-4 ⁢x⁢ ∫ 01 |g⁡ (t) |⁢ dt をみたすとき, g⁡( x) の極大値を求めよ.
2018-11031-0103
数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題
【1】 3 次方程式 x 3+α ⁢x2 +β⁢x +γ=0 の 3 つの解を 2 , cos⁡θ +i⁢( sin⁡θ ) , および cos ⁡θ-i ⁢(sin ⁡θ ) とするとき,以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位, θ は 0 ≦θ≦ π の範囲の実数とする.
問1 α ,β , γ をそれぞれ θ で表せ.
問2 θ に関する条件 p と q を
{ 条件 p:-1 ≦α≦ 0 条件 q:-3 <β< -1
と,それぞれ定める.命題 p ⟹q の真偽を調べよ.
問3 問2で定めた条件 p と q に対して,命題 p ⟹q の裏を示し,その真偽を調べよ.
2018-11031-0104
【2】 漸化式 an+1 -10⁢ an= 1 ,a 1=1 をみたす数列 { an } について,以下の問いに答えよ.ただし, n は正の整数とする.
問1 数列 { an } の一般項を求めよ.
問2 m を正の整数とする. am+ 1⁢ an+1 -10⁢ am⁢ an= ak となるとき, k を m と n で表せ.
問3 a2 ⁢n+3 ≦ 107⋅ 10n+ 4-7 ⋅107 -19 をみたす n をすべて求めよ.
問4 bn =an +3⁢ an+ 1-10 ⁢an +2⁢ an とおくとき, ∑k= 1n bk を求めよ.
2018-11031-0105
数学III 選択問題
【1】 関数 f ⁡(x )=x -2+ 1 x ( x> 0 ) とする.また, n を正の整数とし,数列 { an } を以下で定める.
点 ( an, f⁡( an ) ) における y =f⁡( x) ) の接線を l n とし, ln と x 軸の交点の x 座標を a n+1 とする.
以下の問いに答えよ.
問1 関数 y =f⁡( x) の極値,変曲点を調べ,グラフをかけ.
問2 ln を求め,数列 { an } がみたす漸化式を求めよ.
問3 a1 =3 のとき,数列 { an } の一般項を求め,さらに limn→ ∞a n を求めよ.
2018-11031-0106
【2】 極方程式 r = 22+ cos⁡θ で表される曲線を C とする.以下の問いに答えよ.ただし, 0≦θ <2⁢ π とする.
問1 極座標 ( r,θ ) と直交座標 ( x,y ) の間の関係 x =r⁢cos ⁡θ ,y= r⁢sin⁡ θ を用いて,曲線 C を直交座標に関する方程式で表せ.
問2 曲線 C の概形を座標平面にかけ.
問3 この曲線で囲まれた図形の面積を求めよ.