2018　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１，問２に答えよ．

問１　$a\text{，}b$を$0$でない定数とするとき，次の式を計算せよ．

${\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{3}}{b}^{-\frac{2}{3}}{(\sqrt{ab})}^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}}}$

【１】　次の問１，問２に答えよ．

問２　ある家庭菜園では，作物$\mathrm{A}$を一株当たり一つ収穫できるように調整している．いま，四つの鉢にそれぞれ一株ずつ植え付け，一つずつ収穫できた．右の表は，作物$\mathrm{A}$の重量と鉢ごとに与えた肥料の量を示したものである．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　作物$\mathrm{A}$の重量と鉢に与えた肥料の量について，それぞれの平均値と分散を求めよ．

(2)　作物$\mathrm{A}$の重量と鉢に与えた肥料の量との間の相関係数を求めよ．また，これらの間にどのような相関関係があるかを述べよ．ただし，$\sqrt{2}\fallingdotseq 1.41$とする．

【２】　次の問１，問２に答えよ．

問１　関数$f(x)=x^3+x^2-x$の増減表をかき，その極値を求めよ．また，関数$f(x)$のグラフ$y=f(x)$と$x$軸との交点を求め，グラフをかけ．

問２　関数$g(x)=|x^3+|x^2+\left|x\right|\left|\right|$を，絶対値記号を用いずに，$x$の範囲によって場合分けして表せ．

【３】　正三角形ではない三角形では，もっとも大きい角の大きさは$60\mathrm{°}$より大きく，もっとも小さい角の大きさは$60\mathrm{°}$より小さいことを証明せよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．次の問１，問２に答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{7}{\sin A}}={\displaystyle \frac{6}{\sin B}}={\displaystyle \frac{4}{\sin C}}$が成り立つとき，$▵\mathrm{ABC}$は鋭角三角形であることを示せ．

問２　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さをそれぞれ$2\text{，}4\text{，}x$とする．ただし，$x$は$2<x<6$を満たす．$▵\mathrm{ABC}$が鈍角三角形になるような$x$の範囲を求めよ．

【５A】　コイとフナが放されているある釣り堀では，先に$3$匹釣り上げた種類の魚を持ち帰ることができる．$1$回釣り糸を垂らしたときに，コイが釣れる確率は$p\text{，}$フナが釣れる確率は$q$であった．ただし，釣った魚はすべてすぐに戻すこととする．また，釣り糸を垂らしても何も釣れないこともある．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$3$回釣り糸を垂らして持ち帰る魚の種類が決まる確率を求めよ．また，その理由も述べよ．

(2)　$5$回釣り糸を垂らして持ち帰る魚の種類が初めて決まる確率を求めよ．

【５B】　数列$\{a_n\}$が，$a_2=6$であり，以下の関係を満たすとき，次の(1)，(2)，(3)に答えよ．

$(n-1)a_{n+1}=(n+1)(a_n-2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を推測し，それを数学的帰納法によって証明せよ．

【６A】　$25$以下の自然数から異なる$7$個の数を任意に選ぶ．この$7$個の数から$4$個以下の数の組を作り，それぞれ和を求める．それらの組の中で，和が等しくなる組が二つ以上あることを示せ．

【６B】　内閣の支持率を調べるために，ある地域の有権者から無作為に回答者$2500$人を選び，内閣の支持者を数えたところ$1500$人であった．次の(1)，(2)に答えよ．ただし，$\sqrt{6}\fallingdotseq 2.45$とする．

(1)　支持率に関する標本比率$R$と，支持率の母比率$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めよ．

(2)　信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間の幅を$2\mathrm{\%}$以内にするためには，回答者は何人以上必要か，求めよ．