2018　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１，問２に答えよ．

問１　不等式$x^2+\sqrt{x^2}<2$を解け．

【１】　次の問１，問２に答えよ．

問２　数式$24x^2+18xy-27y^2+2x+12y-1$を因数分解せよ．

【２】　次の問１，問２に答えよ．

問１　$f(x)=2x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$とする．$f(x)$の定義域を$-1\leqq x\leqq 1$としたときの最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　次の問１，問２に答えよ．

問２　次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$を示せ．

(2)　$\cos 36\mathrm{°}\text{，}\sin 36\mathrm{°}$を求めよ．

【３】　二つの変量を$x\text{，}y$とする．$n$個のデータを$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}(x_n,y_n)$とし，$x$と$y$の相関係数を$r$とする．$n=2$のとき$r$の値が定まるならば，$r=1$または$r=-1$となることを示せ．

【４】　ある工場では製品$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$を製造している．$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$をそれぞれ$1$個製造するために必要な原料$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の量と原料の在庫量は，右の表の通りである．また，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$の$1$個あたりの利益は，$\mathrm{X}$が$2$万円，$\mathrm{Y}$が$3$万円である．原料の在庫量の範囲で最大の利益を得るには，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$をそれぞれ何個製造すればよいか求めよ．ただし，各個数は自然数で答えること．

【５A】　$4$辺の長さが等しい平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，各辺上にそれぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=\mathrm{CR}:\mathrm{RD}=\mathrm{DS}:\mathrm{SA}=2:3$となるようにそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$をとる．$\mathrm{BD}$が$\mathrm{AB}$に等しく，その長さを$a$とするとき，直線$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{BR}\text{，}\mathrm{CS}\text{，}\mathrm{DP}$に囲まれた四角形の面積を$a$で表せ．

【５B】　空間上に点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\text{，}\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)\text{，}\mathrm{C}(x_3,y_3,z_3)$がある．次の(1)，(2)，(3)に答えよ．ただし，$(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)\ne 0$とする．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の式を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直交し，点$\mathrm{C}$を通る平面の式を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$を中心とし，(2)の平面と接する球面の方程式を求めよ．

【６A】　サイコロを振って出た目の数に応じて，$\stackrel{\text{こま}}{\text{駒}}$を地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\cdots$の順に進める．$1$の目が出たときは駒を一つ進め，$2$の目が出たときは駒を二つ進め，それ以外の目が出たときは駒を進めないものとする．はじめに，駒は地点$\mathrm{A}$にあるとして，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　サイコロを$2$回振ったとき，駒が地点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

(2)　サイコロを$n$回振ったとき，ちょうど$1$周して駒が地点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

【６B】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

$a_1=3\text{，}{b}_1=2$

$a_{n+1}=6a_n-b_n\text{，}{b}_{n+1}=2a_n+3b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$